2020年湖南省张家界市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）的倒数是（ ）A．﹣B．C．2020D．﹣20202．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）A．B．C．D．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．2a+3a＝5a2B．（a2）3＝a5C．（a+1）2＝a2+1D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣44．（3分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）A．了解澧水河的水质，采用抽样调查B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）第21页（共21页）
A．100°B．110°C．120°D．130°6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）A．﹣9B．+2＝C．﹣2＝D．+97．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）A．2B．4C．8D．2或48．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）A．6B．7C．8D．14二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）因式分解：x2﹣9＝ ．10．（3分）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为 元．11．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB第21页（共21页）
平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 度．12．（3分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 ．14．（3分）观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝ ．三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．第21页（共21页）
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．18．为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）9395979899人数（人）23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是 分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？19．今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．20．阅读下面的材料：第21页（共21页）
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝ ；（2）当min时，求x的取值范围．21．“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；第21页（共21页）
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第21页（共21页）
2020年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）的倒数是（ ）A．﹣B．C．2020D．﹣2020【解答】解：的倒数是2020，故选：C．2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（ ）A．B．C．D．【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A．2a+3a＝5a2B．（a2）3＝a5C．（a+1）2＝a2+1D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；B、（a2）3＝a6，故原式错误；C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；第21页（共21页）
D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，故选：D．4．（3分）下列采用的调查方式中，不合适的是（ ）A．了解澧水河的水质，采用抽样调查B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查【解答】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）第21页（共21页）
A．﹣9B．+2＝C．﹣2＝D．+9【解答】解：依题意，得：+2＝．故选：B．7．（3分）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ）A．2B．4C．8D．2或4【解答】解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．8．（3分）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（ ）A．6B．7C．8D．14【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，∴△ABC的面积等于△ABO的面积，连接OA、OB，如下图所示：第21页（共21页）
则＝．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案为：（x+3）（x﹣3）．10．（3分）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为 2.11×108 元．【解答】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，故答案为：2.11×108．11．（3分）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是 76 度．【解答】解：∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOB＝38°，由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ACD＝38°，∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，故答案为：76°．第21页（共21页）
12．（3分）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是 ．【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），其中男生30人，则这班选中一名男生当值日班长的概率是＝．故答案为：．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是 ．【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，∵B在对角线CF上，∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，∴△ENC为等腰直角三角形，∴MB＝CN＝EC＝，又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），∴PB＝PE，第21页（共21页）
又∠PFB＝45°，∴∠FPB＝45°＝∠MPE，∴△MPE为等腰直角三角形，设MP＝x，则EP＝BP＝，∵MP+BP＝MB，∴，解得，∴BP＝，∴阴影部分的面积＝．故答案为：．14．（3分）观察下面的变化规律：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…根据上面的规律计算：＝ ．【解答】解：由题干信息可抽象出一般规律：（a，b均为奇数，且b＝a+2）．故＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案：．三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）15．计算：|1﹣|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（）﹣2．【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+1﹣4＝﹣1﹣+1﹣4＝﹣4．16．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC第21页（共21页）
于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，DO＝BO，∴∠EDO＝∠FBO，又∵EF⊥BD，∴∠EOD＝∠FOB＝90°，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BO＝DO，EF⊥BD，∴ED＝EB，∴四边形BFDE是菱形，根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，即（8﹣x）2＝x2+62，解得：，∴，∴四边形BFDE的周长＝．第21页（共21页）
17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【解答】解：（﹣）÷＝＝＝＝，当时，原式＝＝1．18．为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：D组成绩的具体情况是：分数（分）9395979899人数（人）23521根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）D组成绩的中位数是 97 分；（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？第21页（共21页）
【解答】解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，补全条形统计图如右图所示：（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，第七个数据为中位数，是97，故答案为：97；（3）1200×＝690（人），即该校成绩优秀的学生人数约有690人，故答案为：690人．19．今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，第21页（共21页）
依题意，得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：第一批购进的消毒液的单价为10元．20．阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝ ﹣1 ；（2）当min时，求x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥，∴x的取值范围为x≥．21．“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）第21页（共21页）
【解答】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴AD＝．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BD＝x．∵AD﹣BD＝AB，∴﹣x＝9×6，∴x＝162，∵162＞150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．第21页（共21页）
【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，又∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∵OC是圆O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，∵∠ACB＝90°，CE＝2，∴CE＝CF＝2，∴EF＝．23．如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第21页（共21页）
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．∴．解得．∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）△APC的为直角三角形，理由如下：∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．∴A（1，0），B（5，0）．∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．∴∠ABP＝45°．∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．∴△APC的为直角三角形；（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，第21页（共21页）
∵M1A＝M1C，∴∠ACM1＝∠CAM1．∴∠AM1B＝2∠ACB．∵△ANB为等腰直角三角形．∴AH＝BH＝NH＝2．∴N（3，2）．设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵C（0，5），A（1，0），∴．解得b＝5，k＝﹣5．∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，设EM1的函数解析式为y＝x+n，∵点E的坐标为（）．∴＝×+n，解得：n＝．∴EM1的函数解析式为y＝x+．∵．第21页（共21页）
解得．∴M1的坐标为（）；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，设M2（a，﹣a+5），则有：3＝，解得a＝．∴﹣a+5＝．∴M2的坐标为（，）．综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/7/2710:26:16；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557第21页（共21页）
