函数与方程1．函数零点存在性判断1．函数的零点所在的区间为（）（，，）A．B．C．D．【答案】B【解析】，由对数函数和幂函数的性质可知，函数在时为单调增函数，，，，，因为在内是递增，故，函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，故选B．2．心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将代入，解得，其中单调递减，而，，而在上单调递减，所以，17
结合单调性可知，即，而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为，故选A．2．方程的根与函数零点的个数1．已知函数，则函数的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由可得．当时，或（舍去），当时，或．故是的零点，是的零点，是的零点．综上所述，共有个零点，故选C．2．已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（）A．10B．11C．12D．13【答案】D【解析】因为是定义域为R的奇函数，所以．因为，令，得，即，所以．又因为为奇函数，所以，所以，17
所以是以4为周期的周期函数．根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图．由图可知，函数在上有零点，，，，，，0，0．5，1，2，3，3．5，4，共13个零点，故选D．3．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，则函数的零点个数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】因为，所以是周期函数，周期为2，且是定义在上的偶函数，根据时的解析式，结合函数性质，可以画出如下图所示的图象，的零点个数，等价于的零点个数，即的图象与两个图象的交点个数，所以观察图象可得零点个数为7，故选C．17
4．若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（）A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】由为R上的奇函数，①，又②，由②－①为周期为2的周期函数，而又，当时，当时，．又当时，单调递增，且．故可作出函数的大致图象如图：而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，且与在（1，3），（3，5），．．．，（23，25）中各有一个交点，∴集合中的元素个数为13，故选C．17
3．利用函数零点求参数的范围1．已知函数，若方程恰好有四个实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，的图象向右平移2个单位，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，也即在区间上的图象．以此类推，则在区间上的图象如图所示．记，若方程恰好有四个实根，则函数与的图象有且只有四个公共点，由图得，点，，，，则，，，，则，所以与的图象有且只有四个公共点时，，故选D．2．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）17
A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有三个零点转化为与有三个交点，，当，在单调递增，单调递减，时取到最大值1．作出图象如下图，由图象可知，故选B．3．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得到；令，由题意可以看作是与有两个交点，则，其中，，是单调递减的，并且时，，因此函数存在唯一零点，；当时，；时，；，得如下函数图象：17
显然当时，与有两个交点，故答案为B．4．已知函数，若函数有9个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为时，，所以在上是周期函数，又当时，，所以，所以在上的图象如图所示，若函数有9个零点，则函数与的图象有9个不同的交点，当时，易得函数与的图象有且只有2个不同的交点，不符合题意；当时，要使函数与的图象有9个不同的交点，由图可知，解得，17
综上，实数的取值范围为，故选A．5．已知函数，若关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得：函数的定义域为，对函数求导：，令，可知，令，可知或，所以在和上单调递减，在上单调递增．故在时，有极小值为，令，则方程化成，令，则，或（舍去），根据图象可知此时只有一个解，排除A；令，则，或（舍去），根据图象可知此时只有一个解，排除C；令，则，或，根据图象可知此时有两个解，故排除D，故选B．6．已知函数，若函数有6个零点，则m的取值范围是（）17
A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，作出函数的大致图象，如图所示，则函数有6个零点等价于在上有两个不同的实数根，则，解得，故选D．7．已知函数，若函数与的图象恰有5个不同公共点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，，当时，；当时，，故时，；17
当时，，，当时，有极大值，当时，，作出的大致图象如图：函数与的图象恰有5个不同公共点，即方程有5个不同的根，令，根据其图象，讨论有解情况如下：令，（1）当在和上各有一个解时，即，解得；（2）当在和上各有一个解时，，解得；（3）当有一个根为6时，解得，此时另一个根为，不合题意；（4）当有一个根为1时，解得，此时另一个根也为1，不合题意，综上可知：，故选A．17
8．已知函数，，则当方程有6个解时的取值范围是（）A．B．或C．D．【答案】A【解析】函数，，，令，得或，故当时，函数取极大值1，时，函数取极小值；则与的交点情况为：当，或时，有一个交点；当，或时，有两个交点；当时，有三个交点；与的交点情况为：当时有两个交点，交点横坐标一个在区间上，一个在区间上；当时有两个交点，交点横坐标一个为，一个为；当时有两个交点，交点横坐标一个在区间上，一个在区间上，17
且当时，交点横坐标分别为，；若方程有6个解，有两个根，均在上，故，故选A．4．与函数零点有关的求值问题1．定义在R上的偶函数满足，当时，，则函数在区间上的所有零点的和是（）A．10B．8C．6D．4【答案】A【解析】如图所示，与在区间上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线对称，所以在区间上的所有零点的和是10，故选A．17
2．已知函数，若均不相等，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】不妨设，由图可得，所以，即，由，得，所以的取值范围是，故答案为．3．已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（）A．0B．2C．D．【答案】D【解析】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，令，，即函数的图象与有四个不同的交点，两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：17
所以，不妨设，则，所以，故选D．4．已知函数，若，且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设为曲线上一点，当该点处切线与平行时，满足题意．令，得满足题意，即，把代入，得，把代入，得，即，∴，即为所求，故选A．17
5．已知函数恰有三个不同的零点，则这三个零点之和为_________．【答案】5【解析】令，由对勾函数可知或，所以有三个零点等价于关于的方程有两解，且其中一解为或，另一解大于或小于．当不合题意，所以，则得．若，则该方程无解，不合题意．所以，所以，，当，此时不符合题意；当，此时，解得，由，当，解得，当，整理，所以，所以，故答案为．6．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数与函数的图象在上所有交点的横坐标之和为（）17
A．2020B．1010C．1012D．2022【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，即当时，，由已知，，，故是周期函数，且对称轴为，又，即，所以函数关于对称，如图函数和函数在上的图象，在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，在区间上，包含了函数中的个周期再加上个周期，所以函数和函数在和上都有个交点，根据对称性可得所有交点的横坐标之和为，故选A．7．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（）A．3B．6C．9D．36【答案】D17
【解析】因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，；当时，，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故，故选D．17
