2.5直线与圆的位置关系第2章圆导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.5.4三角形的内切圆,学习目标1.了解有关三角形的内切圆和三角形内心的概念；(重点)2.能运用三角形内切圆、内心的知识进行有关的计算．(难点),导入新课情境引入如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案.ABCABCABCABC方案一方案二方案三方案四√,讲授新课三角形的内切圆一合作探究猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________.ABC方案二切∟∟∟O,画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.ABCＥ∟∟∟OＤＦ半径,到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A的__________与∠B的___________的___点.ABCＥ∟∟∟OＤＦ平分线平分线交,已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.做一做MND,观察与思考与△ABC的三条边都相切的圆有几个？因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个.D,知识要点ABCＯＭNF外切三角形内切圆内心1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.,名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．ABOABCO填一填,例1△ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数。ABCO解：∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°∵⊙O是△ABC的内切圆∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线即∠OBC=∠ABC∠OCB=∠ACB典例精析,∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°.ABCO,例2△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=xcm，则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACBEDFO,由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得x=4.ACBEDFO,例3如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OD、OE、OF，则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.B·ACEDFO,设AD=x,BE=y,CE＝r则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解得r＝a＋b－c2B·ACEDFO,设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径r＝或r＝(后面习题中证明).a＋b－c2aba＋b＋c知识拓展,当堂练习(1)三角形的内心是三角形三边中垂线的交点（）(2)三角形的内心是三角形三个角平分线的交点（）(3)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）(4)三角形的内心到三角形各边的距离相等（）(5)三角形的内心一定在三角形的内部（）(6)三角形的内心与一顶点的连线平分该顶点处的内角（）错对对对错对1、判断对错,110°A2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=.BCO第2题,3.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是.ABCFEDO第3题30,·BDEFOCA4.如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r,设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝;当△ABC为直角三角形，a,b为直角边时,r=.2sa＋b＋caba＋b＋c知识拓展,5.如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D.(1)证明：∵E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.即∠DBE＝∠DEB，故BD＝ED；(1)求证：BD＝ED；,(2)若AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3.求DE的长．(2)解：∵AD＝8cm，DF∶FA＝1∶3，∴DF＝AD＝×8＝2(cm)．∵∠CBD＝∠BAD，∠D＝∠D，∴△BDF∽△ADB，∴,∴BD2＝AD·DF＝8×2＝16，∴BD＝4cm，又∵BD＝DE，∴DE＝4cm.,拓展提升：6.直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：(1)它的外接圆半径是cm;内切圆半径是cm？(2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.·ABCEDFO51,解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.·ABODC∴OB＝BC＝3cm，∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.,课堂小结只适合于直角三角形三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内切圆应用重要结论内心(三角形三条角平分线的交点)外切三角形
