2021年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．在实数0，π，|﹣2|，﹣1中，最小的数是（ ）A．|﹣2|B．0C．﹣1D．π2．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）A．B．C．D．3．世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）A．1.2×10﹣7B．0.12×10﹣6C．12×10﹣8D．1.2×10﹣64．下列运算正确的是（ ）A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9D．（﹣3a3）2＝9a65．一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝146°33′，则∠2的度数为（ ）A．64°27′B．63°27′C．64°33′D．63°33′,6．小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）A．平均数是B．众数是10C．中位数是8.5D．方差是7．已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）,8．2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（ ）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（ ）A．B．C．D．10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．,②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．函数的自变量x的取值范围是 ．12．计算：+（2021﹣π）0+（﹣）﹣1＝ ．13．如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120°的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 cm．14．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 个“〇”．15．下列说法不正确的是 （只填序号）①7﹣的整数部分为2，小数部分为﹣4．②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣2．,④新定义运算：m*n＝mn2﹣2n﹣1，则方程﹣1*x＝0有两个不相等的实数根．16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 ．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程.17（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（2）先化简：÷（2x﹣），再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．18某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A﹣动物园；B﹣七星湖；C﹣鄂尔多斯大草原；D﹣康镇；E﹣蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为90°，请根据图中信息解答下列问题．,（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；（2）扇形统计图中m＝ ，表示D的扇形的圆心角是 度；（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．19如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．20图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB,固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）21如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．（1）求证：HF是⊙O的切线；（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．22鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；,（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？23如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．,（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝ cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．,参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在实数0，π，|﹣2|，﹣1中，最小的数是（ ）A．|﹣2|B．0C．﹣1D．π【分析】先化简|﹣2|，然后根据正数大于0，负数小于0即可得出答案．【解答】解：∵|﹣2|＝2，∴﹣1＜0＜|﹣2|＜π，∴最小的数是﹣1，故选：C．2．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的左视图是（ ）A．B．C．D．【分析】找出几何体从左边看所得到的图形即可．【解答】解：此几何体的左视图有两列，左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方体，故选：B．3．世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.00000012m，“0.00000012”用科学记数法可表示为（ ）A．1.2×10﹣7B．0.12×10﹣6C．12×10﹣8D．1.2×10﹣6【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n,为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7．故选：A．4．下列运算正确的是（ ）A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a+9D．（﹣3a3）2＝9a6【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法运算法则、平方差公式、幂的乘方的运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（﹣3a3）2＝9a6，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝146°33′，则∠2的度数为（ ）A．64°27′B．63°27′C．64°33′D．63°33′【分析】根据平角的定义得到∠4＝33°27′，再根据三角形外角性质得到∠3＝63°27′，最后根据平行线的性质即可得解．【解答】解：如图，,∵∠1+∠4＝180°，∠1＝146°33′，∴∠4＝33°27′，∵∠3＝∠4+∠A，∠A＝30°，∴∠3＝63°27′，∵直尺的对边互相平行，∴∠2＝∠3＝63°27′，故选：B．6．小明收集了鄂尔多斯市某酒店2021年3月1日～3月6日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如图所示的折线统计图，下列结论正确的是（ ）A．平均数是B．众数是10C．中位数是8.5D．方差是【分析】由折线图得到2021年3月1日～3月6日的用水数据，计算这组数据的平均数、中位数、众数、方差，然后判断得结论．【解答】解：由折线图知：2021年3月1日～3月6日的用水量（单位：吨）依次是4，2，7，10，9，4，,从小到大重新排列为：2，4，4，7，9，10，∴平均数是（4+2+7+10+9+4）＝6，中位数是（4+7）＝5.5，由4都出现了2次，故其众数为4．方差是S2＝[2×（4﹣6）2+（2﹣6）2+（7﹣6）2+（10﹣6）2+（9﹣6）2]＝．综上只有选项D正确．故选：D．7．已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M，交OC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（ ）A．（，3）B．（3﹣，3）C．（﹣，3）D．（2﹣，3）【分析】利用基本作图得到∠AOF＝∠COF，再根据平行四边形的性质得到AD∥OC，接着证明∠AOF＝∠AFO得到OA＝AF，设AF交y轴于M，如图，设A（t，3），则AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，利用勾股定理得到t2+32＝（﹣t+2）2，然后解方程求出t即可得到A点坐标．【解答】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，∵四边形AOCD为平行四边形，∴AD∥OC，,∴∠AFO＝∠COF，∴∠AOF＝∠AFO，∴OA＝AF，设AF交y轴于M，如图，∵F（2，3），∴MF＝2，OM＝3，设A（t，3），∴AM＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+2，在Rt△OAM中，t2+32＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，∴A（﹣，3）．故选：A．8．2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（ ）A．B．C．D．【分析】设2020年每包口罩为x元，根据数量＝总价÷单价结合花花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，即可得出关于x的分式方程．【解答】解：设2020年每包口罩为x元，,根据题意可得：，故选：D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将边BC沿CN折叠，使点B落在AB上的点B′处，再将边AC沿CM折叠，使点A落在CB′的延长线上的点A′处，两条折痕与斜边AB分别交于点N、M，则线段A′M的长为（ ）A．B．C．D．【分析】由翻折知：A'B'＝2，由角的关系推导出A'M⊥AB，再通过∠A＝∠A'，则cosA'＝cosA，求得A'M的长．【解答】解：由两次翻折知：CB＝CB'＝6，AC＝A'C＝8，∠A'＝∠A，∠B＝∠BB'C，∴A'B'＝2，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A'+∠BB'C＝90°，∴∠A+∠A'B'M＝90°，∴A'M⊥AB，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB＝，∴cosA'＝cosA＝，∴，∴A'M＝，,故选：B．10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（ ）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH＝AB＝6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD＝AB＝6cm；当6≤t≤9时，S＝且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，可得HC＝3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，,①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3cm，即点H为CD的中点．∴BH＝．∴AB＝AH＝BH＝6，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：,此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．,在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝t，∴S＝AN×ME＝．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝，如图，由①知：BC＝3，∴MB＝BC﹣CM＝2．∵AB＝6，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，,此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．二．填空题（共6小题）11．函数的自变量x的取值范围是 x≤2 ．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：4﹣2x≥0，解得x≤2．12．计算：+（2021﹣π）0+（﹣）﹣1＝ ﹣4 ．【分析】利用立方根的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简即可．【解答】解：原式＝﹣2+1﹣3＝﹣4．故答案为：﹣4．13．如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120°的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 30 cm．【分析】设扇形纸片的半径为xcm，根据圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长列方程即可解得答案．,【解答】解：设扇形纸片的半径为xcm，由圆锥底面圆的周长是展开扇形的弧长可得：2π×10＝，解得x＝30，故答案为：30．14．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 875 个“〇”．【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4＝5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1＝7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4＝11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9＝17；…由此得出第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．据此可以求得答案．【解答】解：∵第1个图形中小圆的个数为1+4＝5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1＝7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4＝11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9＝17；…∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．∴第30个“龟图”中的“〇”的个数为1+（30+3）+（30﹣1）2＝1+33+841＝875．故答案为：875．15．下列说法不正确的是 ①③④ （只填序号）①7﹣的整数部分为2，小数部分为﹣4．②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为．③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣2．④新定义运算：m*n＝mn2﹣2n﹣1，则方程﹣1*x,＝0有两个不相等的实数根．【分析】①利用无理数的估算即可得到结论；②设正多边形是n边形．由题意：＝60°，求出n即可解决问题；③直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；④根据新运算得到﹣x2﹣2x﹣1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．【解答】解：①）∵4＜＜5，∴2＜7﹣＜3，∴7﹣的整数部分是2，小数部分是小数部分为5﹣，故符合题意；②解：设正多边形是n边形．由题意：＝60°，∴n＝6，∴这个正多边形的内切圆的半径为；故不符合题意；③把直线y＝2x﹣3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y＝2x﹣1，故符合题意；④根据题意得﹣x2﹣2x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4＝0，∴方程有两个相等的实数根，故符合题意．故答案为：①③④．16．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为 3﹣3 ．【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，得到点F,在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，连接B'O交AD于E，交⊙O于F，则线段B'F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠FDC＝90°，∵∠ADF＝∠FCD，∴∠FDC+∠FDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B的对应点是B'，连接B'O交AD于E，交半圆O于F，则线段B'F的长即为BE+EF的长度最小值，OF＝3，∵∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，∴OC'＝9，∴B'O＝＝＝3，∴EP＝3﹣3，,∴FD+FE的长度最小值为3﹣3，故答案为：3﹣3．三．解答题17（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．（2）先化简：÷（2x﹣），再从﹣2，0，1，2中选取一个合适的x的值代入求值．【考点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【专题】计算题；分式；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．【答案】（1）﹣2≤x＜1，数轴看解答；（2）﹣，当x＝1时，原式为﹣．【分析】（1）运用不等式性质分别解不等式①和②，然后借助数轴求解集的公共部分即可；（2）运用分式性质和因式分解进行化简，然后再选取合适的值代入计算．【解答】解：（1）由①得，4x﹣3x+6≥4，x≥﹣2；由②得，2（x﹣1）＞5（x+1）﹣10，2x﹣2＞5x+5﹣10，﹣3x＞﹣3，x＜1，所以不等式组的解集是：﹣2≤x＜1，它们的解集在数轴上表示如下：,（2）÷（2x﹣）＝＝＝﹣，∵x≠0，2，﹣2，∴当x＝1时，原式＝﹣．18某中学对九年级学生开展了“我最喜欢的鄂尔多斯景区”的抽样调查（每人只能选一项）：A﹣动物园；B﹣七星湖；C﹣鄂尔多斯大草原；D﹣康镇；E﹣蒙古源流，根据收集的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，其中B对应的圆心角为90°，请根据图中信息解答下列问题．（1）求抽取的九年级学生共有多少人？并补全条形统计图；（2）扇形统计图中m＝ ，表示D的扇形的圆心角是 度；（3）九年级准备在最喜欢A景区的5名学生中随机选择2名进行实地考察，这5名学生中有2名男生和3名女生，请用树状图或列表法求选出的2名学生都是女生的概率．,【考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）200人，补全图形见解答；（2）10、36°；（3）．【分析】（1）用A项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用总人数分别减去其它项目的人数得到C项目的人数，即可补全条形图；（2）用D项目人数除以总人数得到D项目的百分比m的值，用360°乘以D项目人数所占比例可得其圆心角度数；（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出2名学生都是女生的结果数，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）∵B对应的圆心角为90°，B的人数是50，∴此次抽取的九年级学生共50÷＝200（人），C对应的人数是：200﹣60﹣50﹣20﹣40＝30，补全条形统计图如图1所示：（2）D所占的百分比为×100%＝10%，∴m＝10，表示D的扇形的圆心角是360°×＝36°；故答案为：10，36°；（3）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中选出的2名学生都是女生的结果数为6，∴选出的2名学生都是女生的概率为＝．,19如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝﹣；（2）P（0，14）或（0，2）．【分析】（1）根据勾股定理求出BE＝5，由CF﹣BE＝1得CF＝6，设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），因为E，F都在反比例函数图象上，得出方程﹣6m＝﹣4（m+3），解方程即可；（2）由S△CEP＝S矩形ABCD，可得CP的长，从而得出P坐标．,【解答】解：（1）∵E是AD的中点，∴AE＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝，∵CF﹣BE＝1，∴CF＝6，∴F的横坐标为﹣6，设F（﹣6，m），则E（﹣4，m+3），∵E，F都在反比例函数图象上，∴﹣6m＝﹣4（m+3），解得m＝6，∴F（﹣6，6），∴k＝﹣36，∴反比例函数y＝﹣．（2）∵S△CEP＝S矩形ABCD，∴，∴CP＝8，∴P（0，14）或（0，2）．20图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE＝60°．（1）若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）,【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）124mm；（2）33.4°．【分析】（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF；在Rt△CDF中，解直角三角形可得CF的长，在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的长．（2）画出符合题意的图形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度数，则CD旋转的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．【解答】解：（1）过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，则点A到直线DE的距离为：AH+CF．在Rt△CDF中，∵sin∠CDE＝，∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35≈59.5（mm）．∵∠DCB＝70°，,∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，∵CG∥DE，∴∠GCD＝∠CDE＝60°．∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．在Rt△ACH中，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝59.5+64＝123.5≈124（mm）．（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．在Rt△B′C′D中，∵tan∠B′DC′＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，∴∠B′DC′＝26.6°．∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．21如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．（1）求证：HF是⊙O的切线；（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．,【考点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）答案见解答；（2）tanH＝．【分析】（1）连接OE，先说明OE∥AC，再说明OE⊥HF，即可得到HF是⊙O的切线．（2）过点E作EG⊥AH于G，分别在Rt△BGE和Rt△ABE中求出线段BG、GE、GO的长，最后根据锐角三角函数求出结果．【解答】解（1）如图证明：连接OE，∵AB＝AC、OB＝OE，∴OE∥AC，又∵HF⊥AC，∴OE⊥HF，∴HF是⊙O的切线．（2）过点E作EG⊥AH于G，∴∠EGB＝90°，EB＝6，,∵cos∠ABE＝，∴BG＝2，EG＝4，∵∠H+∠HEG＝90°，∠GEO+∠HEG＝90°，∴∠H＝∠GEO，在Rt△BEA中，cos∠ABE＝，EB＝6，∴AB＝18，∴OB＝AB＝9，∴GO＝OB﹣BG＝7，∴tanH＝tan∠GEO＝＝．22鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元、如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．已知每个房间定价x（元）和游客居住房间数y（间）符合一次函数关系，如图是y关于x的函数图象．（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当房价定为多少元时，宾馆利润最大？最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】（1）y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；（2）当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．,【分析】（1）根据图象设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，然后用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据宾馆利润数＝单个房间的利润×游客居住房间数列出二次函数的关系式，再根据二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）由题意，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，把（280，40，），（290，39）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣x+68（200≤x≤320）；（2）设宾馆的利润为w元，则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+68）＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，∵﹣＜0，∴当x＜350时，w随x的增大而增大，∵200≤x≤320，∴当x＝320时，w取得最大值，最大值为10800元，答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是10800元．23如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．,【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；运算能力；推理能力．【答案】（1）A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣8）；（2）；（3）M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．【分析】（1）令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，可得A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，可得C（0，﹣8）；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，根据题意得E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），即可得出DE＝﹣m2﹣4m，利用△ACO∽△DOF，建立方程求解即可；（3）分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，可得出N（﹣1，﹣6），根据CM＝PN＝CN＝，即可求出答案；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），建立方程求解即可；③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），根据N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，即可求得答案．【解答】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，,∴A（﹣4，0），B（2，0），令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，∵直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，∴E（m，m2+2m﹣8），D（m，﹣2m﹣8），∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m，设DE交x轴于点F，则F（m，0），∴OF＝﹣m，∴AF＝m﹣（﹣4）＝m+4，DF＝2m+8，∵OD⊥AC，EF⊥OA，∴∠ODA＝∠OFD＝∠DFA＝∠AOC＝90°，∴∠DOF+∠COD＝∠OCD+∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠OCD，∴△ACO∽△DOF，∴＝，∴OC•DF＝OA•OF，∴8（2m+8）＝4（﹣m），解得：m＝﹣，∴DE＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣）2﹣4×（﹣）＝；（3）存在，如图2，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∵以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，,∴分三种情况：CM对角线或CN为对角线或CP为对角线，①当CP为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CN，∴N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（﹣1，﹣6），CN＝＝，∴CM＝PN＝，∴M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣）；②当CN为对角线时，CM∥PN，CM＝PN＝CP，设CM＝a，则M（0，﹣8+a），P（﹣1，﹣6﹣a），∴（﹣1﹣0）2+（﹣6﹣a+8）2＝a2，解得：a＝，∴M3（0，﹣），③当CM对角线时，PN与CM互相垂直平分，设P（﹣1，b），则N（1，b），M（0，2b+8），∵N（1，b）在直线y＝﹣2x﹣8上，∴b＝﹣2×1﹣8＝﹣10，∴M4（0，﹣12），综上所述，点M的坐标为：M1（0，﹣8+），M2（0，﹣8﹣），M3（0，﹣），M4（0，﹣12）．,24旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝ cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．,【考点】四边形综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【答案】（1）；（2）2a；（3）5﹣2．【分析】（1）如图①，先根据等腰直角三角形得两锐角为45°，由旋转得∠MCN＝90°，CN＝BM＝1，由勾股定理可得MN的长，最后根据△AMN是等腰直角三角形可得结论；（2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，证明△CDQ≌△CBE（SAS）和△QCP≌△ECP（SAS），根据等量代换可得△APQ的周长＝2AB＝2a；（3）如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA；易证△BDB'是等边三角形，△AEB'是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE＝B′E＝，BB′＝2，根据面积差可得结论．【解答】解：（1）如图①，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由旋转得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN，∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形，∵CM＝2，∴MN＝＝，∴AM＝MN＝（cm）；,故答案为：；（2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠CDQ＝90°，在△CDQ和△CBE中，，∴△CDQ≌△CBE（SAS），∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE，∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE，在△QCP和△ECP中，，∴△QCP≌△ECP（SAS），∴PQ＝PE，∴△APQ的周长＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP＝AQ+BE+PB+AP＝AQ+DQ+AB＝2AB＝2a；（3）如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，,连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA于E，由旋转得：△BCD≌△B′AD，∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，∠CBD＝∠AB'D，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A，△BDB'是等边三角形，∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BAB′＝∠BDB'+∠AB'D+∠ABD＝135°，∴∠B′AE＝45°，∵B′A＝BC＝2，∴B′E＝AE＝，∴BE＝AB+AE＝2+＝3，∴BB′＝＝2，设等边三角形的高为h，则勾股定理得：h＝＝，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′＝×2×﹣××＝5﹣2．
