2021年内蒙古呼和浩特市中考数学真题试卷【含答案解释，可编辑】注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．几种气体的液化温度（标准大气压）如表：气体氧气氢气氮气氦气液化温度°C其中液化温度最低的气体是（ ）A．氦气B．氮气C．氢气D．氧气2．如图，在中，，，直线经过点A，，则的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．下图所示的几何体，其俯视图是（ ）试卷第7页，共7页
A．B．C．D．4．下列计算正确的是（ ）A．B．C．D．5．已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．6．某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下3个判断，错误的有（ ）①该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7②若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人．③若从该校初一学生中抽取120人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人，样本更具有代表性．A．3个B．2个C．1个D．0个7．在平面直角坐标系中，点，．以为一边在第一象限作正方形，则对角线所在直线的解析式为（ ）试卷第7页，共7页
A．B．C．D．8．如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面d及的值都正确的是（ ）A．，B．，C．，D．，9．以下四个命题：①任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可能是D队；③两个正六边形一定位似；④有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点，，且过，两点（b，a是实数），若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．因式分解：=_____________________________．12．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若A点坐标为，则__________．13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．14．动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，据此若设刚出生的这种动物共有a只．则20年后存活的有__________试卷第7页，共7页
只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是__________．15．已知菱形的面积为﹐点E是一边上的中点，点P是对角线上的动点．连接，若AE平分，则线段与的和的最小值为__________，最大值为__________．16．若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：﹐，…其中是这个数列中第n个位置上的数，，2，…k且并规定，．如果数列A只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是__________．三、解答题17．计算求解（1）计算（2）解方程组18．如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．（1）求证：；（2）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状．（无需说明理由）19．某大学为了解大学生对中国共产党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格：40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，50，49，30，30，49，49，49，43，43，43，37，37，37，43，43，37，25大学二年级20试卷第7页，共7页
名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一ab43m大二39.544cn请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a＝__________，b＝__________，c＝__________，m＝__________，n__________；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．20．如图，线段与表示某一段河的两岸，．综合实践课上，同学们需要在河岸上测量这段河的宽度（与之间的距离），已知河对岸上有建筑物C、D，且米，同学们首先在河岸上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45°方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）试卷第7页，共7页
21．下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3电话计费问题月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费考虑下列问题：①设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费②观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的__________，y表示问题中的__________．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）试卷第7页，共7页
22．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？23．已知是⊙O的任意一条直径，（1）用图1，求证：⊙O是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知⊙O的面积为，直线与⊙O相切于点C，过点B作，垂足为D，如图2，求证：①；②改变图2中切点C的位置，使得线段时，．24．已知抛物线（1）通过配方可以将其化成顶点式为__________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴__________（填上方或下方），即__________0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；（2）若抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当，时，．试卷第7页，共7页
参考答案：1．A【分析】先比较负数的大小，进而即可得到答案．【详解】解：∵-268＜-253＜-195.8＜-183，∴氦气是液化温度最低的气体，故选A．【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，掌握“负数的大小比较法则”是解题的关键．2．D【分析】根据可判断，再利用两直线平行内错角相等即可得出结论．【详解】，直线DE经过点A，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键．3．B【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断．【详解】解：俯视图是从物体上面看所得到的图形，从物体上面看，是一个矩形中包含2个三角形和2个梯形，故选B．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三种视答案第22页，共22页
图混淆而错误的选其它选项．4．D【分析】根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．【详解】，故A错；当a＞0，，当a＜0，，故B错；，故C错；，D正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键．5．D【分析】首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．【详解】解：解不等式得，，解不等式得，，∵该不等式组无实数解，∴，解得：，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确答案第22页，共22页
定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．6．C【分析】根据扇形图所给信息，结合题目已知条件，逐项分析即可．【详解】①根据扇形统计图的圆心角的度数，可知三类不同地区的分布的角度为比为：，正确；②，则总数为840人，判断不正确；③分别随机抽取30、20、70人是按照①分布情况抽取的，符合抽样调查的原则，判断正确．②不正确，共1个故答案为：C【点睛】本题考查了扇形统计图，求样本的容量，抽样调查等知识点，能正确处理扇形统计图的中的信息是解题的关键．7．A【分析】过点作轴于点，先证明，再由全等三角形对应边相等的性质解得，最后由待定系数法求解即可．【详解】解：正方形中，过点作轴于点，设直线所在的直线解析式为，代入，得答案第22页，共22页
，故选：A．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．C【分析】根据勾股定理求出多边形的边长，利用多边形内角和求解内角度数，再根据锐角三角函数求值即可．【详解】解：设剪去△ABC边长AC=BC=x，可得：，解得x=，答案第22页，共22页
则BD=，∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，根据正八边形每个内角为135度，，则∠BFD=22.5°，∴外接圆直径d=BF=，根据题意知周长÷d==，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、多边形内角和、圆周长直径公式和锐角三角函数等相关知识，阅读理解题意是解决问题的关键．9．B【分析】①根据三角形中位线、中线的性质，结合平行四边形的判定与性质解题；②由单循环赛对A队，E队进行推理即可；③根据正六边形的性质、位似的定义解题；④由平均数定义解题．【详解】解：①如图，是的中线，是的中位线，连接，由中位线定义可知，四边形是平行四边形对角线互相平分，故①正确；②由单循环比赛可知，每支队伍最多赛5场，A对已经赛5场，即每支队伍都与A队比赛过，而E队只比赛1场，据此可知，E队没有与B对比赛过，故②错误；答案第22页，共22页
③两个正六边形不一定位似，没有确定位似中心，只能是相似的，故③错误；④小王的捐款数比他所在学习小组中13人捐款的平均数多2元，小王的捐款数不会是最少的，捐款数可能最多，也可正确在第12位，故原命题正确，是真命题，符合题意B故④正确，其中真命题的个数有①④，2个，故选：B．【点睛】本题考查中位线、中线的性质，简单推理、位似、正六边形的性质、平均数的应用等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】根据题意列出二次函数的解析式，求出二次函数的最值，利用基本不等式，求出的范围．【详解】由题意，二次函数与x轴交于两点，，且二次项系数为1，则：过，两点，，答案第22页，共22页
二次函数的二次项系数为1，对称轴为二次函数图像开口朝上，且点，在对称轴的右侧．又．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，二次函数的配方法求最值，以及基本不等式的运用，（仅当时，等于号成立）能灵活的应用基本不等式是解题的关键．11．xy（x+2）（x-2）【分析】先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】x3y-4xy=xy（x2-4）=xy（x+2）（x-2）．故答案是：xy（x+2）（x-2）．【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．【分析】将A点坐标为分别代入正比例函数与反比例函数的解析式中即可求解．【详解】答案第22页，共22页
和过点A故答案为．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，有理数的加法运算，正确的实用待定系数法求解析式是解题的关键．13． 216【分析】根据题意可确定，圆锥侧面展开图是半径为8的扇形，并且其弧长即为底面圆的周长，因而求出底面圆的周长即可，另外根据扇形的弧长公式即可直接求出展开之后的圆心角．【详解】如图，由题意可知，AB=10，AO=8，在Rt△ABO中，由勾股定理可得，BO=6，则该扇形展开后侧面是半径为10的扇形，其弧长即为底面圆的周长，∴底面的周长为：，根据弧长公式可得：，解得：，故答案为：；216．【点睛】本题考查圆锥的侧面展开问题，理解圆锥侧面展开图形的性质以及基本定理是解题关键．14． 【分析】答案第22页，共22页
共有a只这种动物，根据题意即可求出这种动物活到20岁的有0.8a只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率通过25岁存活数÷20岁存活数即可得到．【详解】解：共有a只这种动物∵这种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，∴这种动物活到20岁的有0.8a只，活到25岁的有0.5a只，∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是0.5a÷0.8a=故答案为：．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．15． 【分析】先作出图形，根据是的中点，平分可知，根据将军饮马知识即可求出最小值，当P与点D重合时求出最大值．【详解】如图，连接，是的中点，AE平分设点到、的距离为,点到的距离为AE平分（角平分线上的点到角的两边的距离相等）是等腰三角形是的中点,AE平分（三线合一）答案第22页，共22页
又四边形是菱形是等边三角形已知菱形的面积为设菱形的边长为则解得：关于对称+则+最小值为：当点P与点D重合时+最大过作垂足为四边形是菱形是的中点,,答案第22页，共22页
在中则+最大为：【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形性质，三线合一，勾股定理，线段和最值问题，由于题目没有给图形，能够根据题中信息正确的作出图形，并判断出是等边三角形是解题的关键．16．0，1，0，1【分析】根据定义先确定x0=x4=1与x5=x1=3，可得x0，，，，，x5依次为1，3，1，2，1，3，根据定义其“伴生数列”B是y1，y2，y3，y4；依次为0，1，0，1即可．【详解】解：∵，，，依次为3，1，2，1，∴x0=x4=1，x5=x1=3，∴x0，，，，，x5依次为1，3，1，2，1，3，∵x0==1，y1=0；x1≠x3，y2=1；==1，y3=0；≠x5，y4=1；∴其“伴生数列”B是y1，y2，y3，y4；依次为0，1，0，1．故答案为：0，1，0，1．【点睛】本题考查新定义数列与伴生数列，仔细阅读题目，理解定义，抓住“伴生数列”中yn与数列A中关系是解题关键．17．（1）2；（2）【分析】答案第22页，共22页
(1)根据、二次根式的运算法则、三角函数值逐个代入求解即可；(2)先化简方程，然后再使用加减消元法求解即可．【详解】解：(1)原式，故答案为：；(2)由题意可知：，化简得得：，解得，把代入得：∴方程组的解为：．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、二次根式的四则运算法则、特殊角的三角函数等，属于基础题，运算过程中细心即可求解．18．（1）证明见解析；（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形．【分析】（1）根据平行线的性质可得，即可得出，根据平行四边形的性质可得，，利用AAS即可证明；（2）当四边形ABCD为矩形时，根据全等三角形的性质可得BE=DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；当四边形ABCD为菱形时，根据菱形的性质，利用SAS可证明△ABE≌△ADE，可得BE=DE，即可证明四边形BEDF是菱形．【详解】（1）∵∴∴∵四边形是平行四边形答案第22页，共22页
∴，，∴在△ABE和△CDF中，∴．（2）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，同（1）可知，∴BE=DF，∵BE//DF，∴四边形BEDF是平行四边形．如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE，∴BE=DE，∴四边形BEDF是菱形．综上所述：当四边形分别是矩形和菱形时，四边形答案第22页，共22页
分别是平行四边形与菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19．（1），，，，，二年级，见解析；（2）1000人；（3）【分析】（1）首先整理数据，根据中位数，众数，平均数，优秀率的意义求解即可求出a,b,c,m,n；再根据两个年级的优秀率即可判断哪个年级掌握党史知识较好；（2）先求出样本的合格率，由样本的合格率估计总体的合格率，用合格率乘以总人数即可估计出总体的合格人数，即可得出结论；（3）首先确定一年级满分人数和二年级满分人数，按照题目要求用列举出所有可能，即可求出概率．【详解】解：（1）将大一年级20名同学成绩整理如下表：成绩25303739434950人数1242542平均数，众数为出现次数最多的数据，由表可知，众数为43，中位数：排序后，第10和第11个数据为42和43，故中位数为；大一年级的优秀率为：，大二年级的优秀率为：，所以，，，，从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，所以估计二年级学生的优秀率高，所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好；答案第22页，共22页
（2）∵样本合格率为：，∴估计总体的合格率大约为，∴估计参加测试的两个年级合格学生约为：人∴估计超过了1000人；（3）一年级满分有2人，设为A，B，二年级满分有3人，设为1，2，3则从这5人中选取2人的所有情况为：，，，，，，，12，13，23，共有10种等可能情况，两人在同一年级的情况有4种，∴可求得两人在同一年级的概率为：．【点睛】本题考查条形统计图、中位数、众数、平均数的意义、由样本估计总体、列举法求概率，掌握中位数、平均数、众数、由样本估计总体、列举法求概率的计算方法是解题关键．20．米【分析】首先构造直角三角形，作、，垂足为P、Q，则四边形CPQD为矩形，CD=PQ=60，设河宽CP为x，利用∠CAP=45°，得出AP=x，则BP=，根据∠BDQ的正弦列出方程，求出x即可表示出河宽．【详解】解：如图，过C、D分别作、垂足为P、Q,设河宽为x米．由题可知，,,∴为等腰直角三角形，∴，,∵MN∥EF，、，∴,∴四边形CPQD为矩形，∴CD=PQ=60,在中，答案第22页，共22页
∵,∴，∴，∴，∴，所以河宽为米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，方向角，三角函数，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义，列出方程解决问题．21．（1）主叫时间，计费；方式一：；方式二：；（2）见解析，当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二【分析】（1）根据题意即可知道x、y的实际意义，根据两种方式的计算方式即可列出分段式函数关系式；（2）根据函数表达式，描点法画出函数图像即可．【详解】解：（1）根据题意可知：x表示主叫时间，y表示计费，通过表格数据可知两种方式都属于分段函数，主叫超时费即为一次函数“k”答案第22页，共22页
值，即可直接写出函数表达式为：方式一：即方式二：即（2）大致图象如下：，解得x=270，由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．【点睛】本题考查了一次函数的表达式求法和函数图像的画法，结合函数图像确定方案选择问题，理解数据与函数的关系是解决问题的关键．22．最多可购进33个B足球【分析】设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为元/个，根据购买A足球数量是B足球数量的1.5倍列出分式方程，求出A足球和B足球的单价，在设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为个，根据购买这两种足球的总费用不超过去年总费用的一半列出不等式解答即可．答案第22页，共22页
【详解】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为元/个由题意得： ∴经检验，是原分式方程的解且符合题意∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为个，由题意可得：∴∴最多可购进33个B足球【点睛】本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．23．（1）见解析；（2）①见解析；②见解析【分析】（1）设P是⊙O上点A，B以外任意一点，过点P作，交⊙O于点，垂足为M，若M与圆心O不重合，证明是的垂直平分线即可；（2）①连接AC、OC，根据已知条件求出⊙O半径并证明，列比例即可得出结论；②根据已知条件证明四边形OCDB为正方形，即可求出OD的长度．【详解】（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点过点P作，交⊙O于点，垂足为M若M与圆心O不重合答案第22页，共22页
连接，在中∵∴是等腰三角形又∴则是的垂直平分线若M与圆心O重合，显然是的垂直平分线这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线的对称点，因此⊙O是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）①证明：设⊙O半径为r，由可得，∴，连接，则，∵C是切点，连接，∴，∵，∴，∴，而，∴，又∵，答案第22页，共22页
∴，∴，∴，∴；②证明：由①证明可知与切点C的位置无关，又∵，∴可证得，又∵是等腰三角形，∴与互相垂直平分，又，∴四边形是边长为2的正方形，∴．【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，圆切线的性质，正方形的判定等知识点，熟练掌握几何图形的性质特点是解题关键．24．（1）；下方；＜；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用配方法，把二次函数化为顶点式，结合二次函数的图像，即可得到答案；（2）把A，B两点位置分三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，②当A，B都在对称轴右侧时，③当A，B在对称轴两侧时，分别进行讨论，即可；（3）令，，结合由（1）（2）的结论，即可得到结论．【详解】答案第22页，共22页
解：（1）通过配方可得：，∵a＞0，抛物线开口向上，∴当顶点在x轴下方时，即＜0时，该抛物线与x轴必有两个交点；故答案是：，下方，＜；（2）若设且不等于顶点横坐标，则A，B两点位置可能有以下三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而减小，所以点A在x轴上方，点B在x轴下方，顶点M在点B下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图1所示②当A，B都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图2所示③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图3所示答案第22页，共22页
（3）证明：令，当时，；当时，，而∴∴上存在两点，分别位于x轴两侧∴由（1）（2）可知，顶点在x轴下方，即，又∵，∴，即：．【点睛】本题主要考查二次函数综合，掌握二次函数的顶点式，二次函数的图像和性质以及二次函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．答案第22页，共22页
