辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=RC．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}2．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（ ）A．∀n＞1，n2＞2nB．∃n≤1，n2≤2nC．∀n＞1，n2≤2nD．∃n＞1，n2≤2n4．（5分）函数的对称轴为（ ）A．B．C．D．5．（5分）指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增6．（5分）设a=log510，b=log612，c=1+log72，则（ ）A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（ ）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（ ）第17页共17页,A．20B．18C．3D．09．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，且∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），则f（2017.5）=（ ）A．B．C．0D．111．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）第17页共17页, 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则= ．14．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x4﹣x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是 ．15．（5分）由y=x2﹣2和y=x围成的封闭图形面积为 ．16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．18．（12分）已知f（x）=Asin（ωx+ϕ）（过点，且当时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在上的值域．19．（12分）已知函数为奇函数．（1）判断f（x）的单调性并证明；（2）解不等式．20．（12分）已知f（x）=sinx，，，，第17页共17页,．（1）求的值．（2），求g（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）22．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围． 第17页共17页,辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（ ）A．A∩B={x|x＜1}B．A∪B=RC．A∪B={x|x＜2}D．A∩B={x|﹣2＜x＜1}【解答】解：集合A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜1}，A∪B={x|x＜3}，故选D． 2．（5分）在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3，∴f′（x）=ex+4＞0，∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f（）=+1﹣3＜0，f（）=+2﹣3=﹣1＞0，∴f（）•f（）＜0，∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：C． 第17页共17页,3．（5分）设命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为（ ）A．∀n＞1，n2＞2nB．∃n≤1，n2≤2nC．∀n＞1，n2≤2nD．∃n＞1，n2≤2n【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p为∀n＞1，n2≤2n．故选：C． 4．（5分）函数的对称轴为（ ）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），令2x+=+kπ，解得x=+，k∈Z．故选：D． 5．（5分）指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在R上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（ ）A．单调递增B．单调递减C．在（0，+∞）上递增，在（﹣∞，0）上递减D．在（0，+∞）上递减，在（﹣∞，0）上递增【解答】解：∵指数函数f（x）=ax在R上是减函数，∴0＜a＜1，∴﹣2＜a﹣2＜﹣1，而函数y=x2在（﹣∞，0）上递减，在区间（0，+∞）上递增；∴g（x）在区间（﹣∞，0）上递增，在区间（0，+∞）上递减；故选：C． 第17页共17页,6．（5分）设a=log510，b=log612，c=1+log72，则（ ）A．c＞b＞aB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．a＞b＞c【解答】解：∵a=log510=1+log52，b=log612=1+log62，c=1+log72，log52＞log62＞log72，∴a＞b＞c．故选：D． 7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x2﹣2x+3），则f（x）的增区间为（ ）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）【解答】解：由﹣x2﹣2x+3＞0，解得：﹣3＜x＜1，而y=﹣x2﹣2x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，故y=﹣x2﹣2x+3在（﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，得f（x）在（﹣3，﹣1）递增，故选：B． 8．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（ ）A．20B．18C．3D．0【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），第17页共17页,∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选A． 9．（5分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，第17页共17页,在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D． 10．（5分）已知函数f（x）的定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x3，且∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），则f（2017.5）=（ ）A．B．C．0D．1【解答】解：∀x∈R，f（x）=f（2﹣x），∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），故f（2017.5）=f（1009×2﹣0.5）=f（0.5）=f（0.5）=（0.5）3=，故选：B． 11．（5分）某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁第17页共17页,【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A． 12．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣2，2]∪[4，+∞）C．[﹣2，2+]D．[﹣2，2+]∪[4，+∞）【解答】解：令f（m）=t⇒f（t）≥0⇒⇒﹣1≤t≤1；⇒t≥3下面求解﹣1≤f（m）≤1和f（m）≥3，⇒﹣2≤m≤1，⇒1＜m≤2+，⇒m无解，⇒m≥4，综上实数m的取值范围是[﹣2，2+]∪[4，+∞）．故选：D． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则= ．【解答】解：，第17页共17页,则：=，==．故答案为：． 14．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x4﹣x，则曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是 5x+y﹣3=0 ．【解答】解：f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=x4﹣x，可得x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=x4+x，又f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）=﹣x4﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣4x3﹣1（x＞0），可得y=f（x）在x=1处的切线斜率为﹣4﹣1=﹣5，切点为（1，﹣2），则y=f（x）在x=1处的切线方程为y+2=﹣5（x﹣1），即为5x+y﹣3=0．故答案为：5x+y﹣3=0． 15．（5分）由y=x2﹣2和y=x围成的封闭图形面积为 ．【解答】解：联立，解得：，或，则A（2，2），B（﹣1，﹣1），S=（x﹣x2+2）dx=（x2﹣x3+2x）第17页共17页,=（×4﹣×8+2×2）﹣（×1+﹣2）=，∴y=x2﹣2和y=x围成的封闭图形面积，故答案为：． 16．（5分）设函数，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是 ．【解答】解：∵函数，f（﹣x）===f（x），故函数为偶函数，当x＞0时，=＞0恒成立函数为增函数，若使得f（x）＞f（2x﹣1）成立，则|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，第17页共17页,解得：x∈，故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设a∈R，命题q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题p：∃x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0．（1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：（1）p真，则或得；q真，则a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2，∴p∧q真，．（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，若p假q假，则，⇒a≤﹣2，若p真q真，则，⇒综上a≤﹣2或． 18．（12分）已知f（x）=Asin（ωx+ϕ）（过点，且当时，函数f（x）取得最大值1．（1）将函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），求函数g（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，函数h（x）=f（x）+g（x）+2cos2x﹣1，求h（x）在上的值域．第17页共17页,【解答】解：（1）由题意可得A=1，由函数过，得，结合范围，由，∵0＜ω＜4，∴可得：ω=2，可得：，∴．（2）∵，由于，可得：，∴h（x）在上的值域为[﹣1，2]． 19．（12分）已知函数为奇函数．（1）判断f（x）的单调性并证明；（2）解不等式．【解答】解：（1）由已知f（﹣x）=﹣f（x），∴∴，a=﹣2，∵，∴为单调递增函数．（2）∵，∴，而f（x）为奇函数，∴∵f（x）为单调递增函数，∴，∴，∴﹣3≤log2x≤1，第17页共17页,∴． 20．（12分）已知f（x）=sinx，，，，．（1）求的值．（2），求g（x）的值域．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴∴=．（2）令，则∴g（x）的值域为． 第17页共17页,21．（12分）已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）【解答】解：（1）∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，∴x＞1，，∵x＞1，∴当k≤0时，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；当k＞0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．（2）∵f（x）≤0恒成立，∴∀x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1≤0，∴∀x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，∴k＞0．由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln≤0，解得k≥1．故实数k的取值范围是[1，+∞）．（3）令k=1，则由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2对x∈（1，+∞）恒成立，即lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，则2lnn≤n2﹣1，即，n≥2，∴且n＞1）． 22．（12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围．第17页共17页,【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，则f′（x）=﹣+1．令f'（x）=0，得x=0．当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0．∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1f（x）的最小值为1．（2）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0（*）令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，则①若a≥﹣2，由（1）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故ex≥1+x∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（0）=0．∴（*）式成立．②若a＜﹣2，令，则∴函数ϕ（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由于ϕ（0）=2+a＜0，．故∃x0∈（0，﹣a），使得ϕ（x0）=0，则当0＜x＜x0时，ϕ（x）＜ϕ（x0）=0，即g'（x）＜0．∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减，∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）． 第17页共17页
