版块一：古典概型1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．称这样的试验为古典概型．2．概率的古典定义：随机事件的概率定义为．版块二：几何概型几何概型事件理解为区域的某一子区域，的概率只与子区域的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件的概率定义为，其中表示区域的几何度量，表示区域的几何度量．典例分析题型一基础题型【例1】在第路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第路或第路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____【例2】（2010崇文一模）从张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是或或的概率为_______．【例3】（2010上海卷高考）从一副混合后的扑克牌（张）中随机抽取张，，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率（结果用最简分数表示）．【例4】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰于向上的点数是3”为事件，则事件，中至少有一件发生的概率是A．B．C．D．【例5】甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（）18A．B．C．D．【例1】甲、乙、丙三人在天节日中值班，每人值班天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（）A．B．C．D．【例2】今后三天每一天下雨的概率都为，这三天恰有两天下雨的概率为多少？【例3】某学生做两道选择题，已知每道题均有个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为．【例4】现有名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名，组成一个小组．⑴求被选中的概率；⑵求和全被选中的概率．【例5】（2009江西10）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）A．B．C．D．18【例1】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率．题型二中档题的常见载体模型扔骰子硬币【例2】将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？【例3】将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？【例4】先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是的概率依次是，则（）A． B． C． D．【例5】（08江苏）若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和为的概率为．【例6】（广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（）18A． B． C． D．【例1】若以连续掷两次骰子分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在圆内的概率是．【例2】同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率；⑵求点数之和为的概率；⑶求至少出现一个点或点的概率．【例3】某中学高一年级有个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由．18摸球【例1】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆个，花生馅汤圆个，豆沙馅汤圆个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取个汤圆，则每种汤圆都至少取到个的概率为（）A．B．C．D．【例2】口袋内装有大小相同的只球，其中只白球，只黑球，从中一次摸出两个球，⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？【例3】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为的2个黑球和编号为的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．18【例1】盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．【例2】有个红球，个黄球，个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？【例3】袋中装有红、黄、白种颜色的球各只，从中每次任取只，有放回地抽取次，求：⑴只全是红球的概率，⑵只颜色全相同的概率，⑶只颜色不全相同的概率，⑷只颜色全不相同的概率．【例4】袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码，设号码为的球的重量为（克）．这些球以等可能性（不受重量，号码的影响）从袋里取出．⑴如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．⑵如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶如果同时任意取出2球，试求它们重量相同的概率．18【例1】在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（）A．B．C．D．【例2】一个袋子中装有个红球和个白球（），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球．⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：必为奇数；⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足的所有数组．【例3】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有个红球，个白球；乙袋装有个红球，个白球．由甲，乙两袋中各任取个球．⑴若，求取到的个球全是红球的概率；⑵若取到的个球中至少有个红球的概率为，求．18数字计算【例1】用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（）A．B．C．D．【例2】任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（）A．B．C．D．【例3】（08辽宁）张卡片上分别写有数字，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【例4】（2006年北京卷理）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．个B．个C．个D．个【例5】（2007年上海卷文）在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．18【例1】（全国）从数字中，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为（）A．B．C．D．【例2】从这五个数字中任取个偶数，从这五个数字中任取个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被整除的概率．【例3】电子钟一天显示的时间是从到的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．B．C．D．【例4】在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）A． B．C． D．【例5】（2009浙江17）有张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数，，其中．从这张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有，的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为）不小于”为，则_____________．【例6】在张奖券（奖券号是18）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？【例1】某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从到，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例2】袋中装有个分硬币，个二分硬币，个一分硬币，任意抓取个，则总面值超过角的概率是（）A．B．C．D．【例3】（2009江苏）现有根竹竿，它们的长度（单位：）分别为，，，，，若从中一次随机抽取根竹竿，则它们的长度恰好相差的概率为________．【例4】任取一正整数，求该数的平方的末位数是的概率．【例5】摇奖器摇出的一组中奖号码为，对奖票上的六个数字是从这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（）A．B．C．D．18【例1】甲乙两人各有相同的小球个，在每人的个小球中都有个标有数字，个标有数字，个标有数字．两人同时分别从自己的小球中任意抽取个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率．【例2】（2010西城一模）一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是、、、．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率；⑵若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率．排列组合相关【例3】一只猴子随机敲击只有个小写英文字母的练习键盘．若每敲次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击次，屏幕上的个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为．【例4】已知支球队中有支弱队，以抽签方式将这支球队分为、两组，每组支．求：⑴、两组中有一组恰有两支弱队的概率；⑵组中至少有两支弱队的概率．18【例1】某班数学兴趣小组有男生和女生各名，现从中任选名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率；⑵至少有一名参赛学生是男生的概率；⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．【例2】（2009上海文）若某学校要从名男生和名女生中选出人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于名的概率是（结果用最简分数表示）．【例3】有十张卡片，分别写有、、、、和、、、、，⑴从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率；⑵若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；【例4】某国际科研合作项目成员由个美国人、个法国人和18个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）【例1】（06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为，甲、乙分到同一组的概率为，则的值分别为（）A．B．C．D．【例2】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为（）A．B．C．D．【例3】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷本，共本．将它们任意地排成一排，左边本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例4】（2008四川延8）在一次读书活动中，一同学从本不同的科技书和本不同的文艺书中任选本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）A．B．C．D．18【例1】停车场有个排成一排的车位，当有辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______；【例2】个人坐到个座位的一排位置上，则个空位互不相邻的概率为．【例3】右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（）A．B．C．D．【例4】（2009四川文）为振兴旅游业，四川省年面向国内发行总量为万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．⑴在该团中随即采访名游客，求恰有人持银卡的概率；⑵在该团中随机采访名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．18【例1】（08湖南）对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总和（是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用表示元素和同时出现在样本中的概率，则=；所有的和等于．题型三结合其他知识的综合题及杂题【例2】已知的三边是以内（不包含）的三个连续的正整数，求是锐角三角形的概率．【例3】（07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量18的夹角为，则的概率是（）A．B．C．D．【例1】考虑一元二次方程，其中的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率．【例2】（07四川）已知一组抛物线，其中为中任取的一个数，为中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（）A．B．C．D．【例3】（2009安徽）考察正方体个面的中心，甲从这个点中任意选两个点连成直线，乙也从这个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．B．C．D．18【例1】从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为．杂题【例2】某招呼站，每天均有辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．⑴共有多少个基本事件？⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？【例3】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？⑵李明三次内打开房门的概率是多大？【例4】张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率．18【例1】某单位一辆交通车载有个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于次；⑶恰好停车次．【例2】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有家企业参与竞标．其中企业来自辽宁省，、两家企业来自福建省，、、三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业中标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？18
