2020年高中阶段教育学校招生统一考试数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.3的相反数是（）．A.B.3C.D.【答案】A【解析】【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义即可得．【详解】3的相反数是-3故选：A．【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题关键．2.下列事件中，为必然事件的是（）．A.明天要下雨B.C.D.打开电视机，它正在播广告【答案】B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．【详解】解：根据题意，结合必然事件的定义可得：A、明天要下雨不一定发生，不是必然事件，故选项错误；B、一个数的绝对值为非负数，故是必然事件，故选项正确；C、，故不必然事件，故选项错误；D、打开电视机，它不一定正在播广告，有可能是其他节目，故不是必然事件，故选项错误；故选B.【点睛】本题考查了必然事件，关键是理解必然事件是一定会发生的事件．解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．3.如图，平行线、被直线所截，过点作于点，已知，则第19页共19页\n（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】延长BG，交CD于H，根据对顶角相等得到∠1=∠2，再依据平行线的性质得到∠B=∠BHD，最后结合垂线的定义和三角形内角和得到结果.【详解】解：延长BG，交CD于H，∵∠1=50°，∴∠2=50°，∵AB∥CD，∴∠B=∠BHD，∵BG⊥EF，∴∠FGH=90°，∴∠B=∠BHD=180°-∠2-∠FGH=180°-50°-90°=40°.故选C.【点睛】本题考查了对顶角相等，垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和，解题的关键是延长BG构造内错角.4.下列式子中正确的是（）．第19页共19页\nA.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项，负整数指数幂，积的乘方逐项判断即可.【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项错误；D、，故选项正确；故选D.【点睛】本题考查了合并同类项，负整数指数幂，积的乘方，解题时需要掌握运算法则.5.若关于的方程没有实数根，则的值可以为（）．A.B.C.0D.1【答案】A【解析】【分析】根据关于x的方程没有实数根，判断出△＜0，求出m的取值范围，再找出符合条件的m的值．【详解】解：∵关于的方程没有实数根，∴△=＜0，解得：，故选项中只有A选项满足，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零.6.下列说法中正确的是（）．第19页共19页\nA.0.09的平方根是0.3B.C.0的立方根是0D.1的立方根是【答案】C【解析】【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义分别判断即可.【详解】解：A、0.09的平方根是±0.3，故选项错误；B、，故选项错误；C、0的立方根是0，故选项正确；D、1的立方根是1，故选项错误；故选C.【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．7.中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪．2020年1月12日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒名为．该病毒的直径在0.00000008米-0.000000012米，将0.000000012用科学计数法表示为的形式，则为（）．A.B.C.7D.8【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000000012用科学计数法表示为1.2×10-8，∴n=-8，故选A.【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8.实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）．第19页共19页\nAB.0C.D.【答案】A【解析】【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，∴===-2故选A.【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．9.如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（）．AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB=S扇形ABA′第19页共19页\n==3π故选D．【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．10.甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（）．A.两人出发1小时后相遇B.赵明阳跑步的速度为C.王浩月到达目的地时两人相距D.王浩月比赵明阳提前到目的地【答案】C【解析】【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.【详解】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，即甲乙两地相距24km，当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，即此时两人相遇，故A正确；∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；可知王浩月的速度为24-8=16km/h，∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，第19页共19页\n即此时两人相距12km，故C错误；赵明阳到达目的地时，用了3h，则3-==1.5h，∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.故选C.【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11._______．【答案】【解析】故答案为.12.因式分解：a－ab2＝_____________________.【答案】【解析】【分析】先提公因式a，再用平方差分解．【详解】解：原式==．【点睛】因式分解牢记“一提二看三检查”口诀．13.如图是某校参加各兴趣小组的学生人数分布扇形统计图，已知参加课程兴趣小组的人数为120人，则该校参加各兴趣小组的学生共有________人．【答案】600第19页共19页\n【解析】【分析】根据扇形统计图中相应的项目的百分比，结合参加STEAM课程兴趣小组的人数为120人，即可算出结果.【详解】解：∵参加课程兴趣小组的人数为120人，百分比为20%，∴参加各兴趣小组的学生共有120÷20%=600人，故答案为：600.【点睛】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．14.世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门反而合算．【答案】33【解析】【分析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x＞160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．【详解】解：设x人进公园，若购满40张票则需要：40×（5-1）=40×4=160（元），故5x＞160时，解得：x＞32，∴当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，则再多1人时买40张票较合算；∴32+1=33（人）；则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．故答案为：33．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按5元的单价付款和4元单价付款的等量关系是解决本题的关键．15.如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则________．第19页共19页\n【答案】1【解析】【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.【详解】解：连接OB和OC，∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，OB=OC=2，∵OD⊥BC，OB=OC，∴∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=OB=1，故答案为：1.【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30°的直角三角形的性质，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理.16.如图，在边长为4的正方形中，点、分别是、的中点，、交于点，的中点为，连接、．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（请填上所有正确结论的序号）第19页共19页\n【答案】①④【解析】【分析】证明△ADF≌△DCE，再利用全等三角形的性质结合余角的性质得到∠DGF=90°，可判断①，再利用三角形等积法AD×DF÷AF可算出DG，可判断②；再证明∠HDF=∠HFD=∠BAG，求出AG，DH，HF，可判定，可判断④；通过AB≠AG，得到∠ABG和∠AGB不相等，则∠AGB≠∠DHF，可判断③.【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∵E和F分别为BC和CD中点，∴DF=EC=2，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∠FAD=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠EDC+∠AFD=90°，∴∠DGF=90°，即DE⊥AF，故①正确；∵AD=4，DF=CD=2，∴AF=，∴DG=AD×DF÷AF=，故②错误；∵H为AF中点，∴HD=HF=AF=，∴∠HDF=∠HFD，∵AB∥DC，∴∠HDF=∠HFD=∠BAG，第19页共19页\n∵AG=，AB=4，∴，∴，故④正确；∴∠ABG=∠DHF，而AB≠AG，则∠ABG和∠AGB不相等，故∠AGB≠∠DHF，故HD与BG不平行，故③错误；故答案为：①④.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高，直角三角形斜边中线定理，知识点较多，有一定难度，解题时注意利用线段关系计算相应线段的长.三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知，将下面代数式先化简，再求值．【答案】；9【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则展开，再合并同类项，最后将x=3代入即可.【详解】解：==将x=3代入，原式=9【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题时要掌握完全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则.18.课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？【答案】48人第19页共19页\n【解析】【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．【详解】解：设这些学生共有x人，根据题意，得解得x=48．答：这些学生共有48人．【点睛】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组，难度一般．19.三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图是的重心．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．【详解】解：过点D作DH∥AB，交CE于点H，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，第19页共19页\n∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴，∴AG=2GD，即AD=3GD.【点睛】本题考查了三角形的重心定理的证明，作辅助线构造成三角形的中位线和相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．20.如图，过直线上一点作轴于点，线段交函数的图像于点，点为线段的中点，点关于直线的对称点的坐标为．（1）求、的值；（2）求直线与函数图像的交点坐标；（3）直接写出不等式的解集．【答案】（1）3，；（2）（2，）；（3）0＜x＜【解析】【分析】（1）根据点C′在反比例函数图像上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；第19页共19页\n（3）根据（2）中交点坐标，结合图像得出结果.【详解】解：（1）∵C′的坐标为(1，3)，代入中，得：m=1×3=3，∵C和C′关于直线y=x对称，∴点C的坐标为（3，1），∵点C为PD中点，∴点P（3，2），将点P代入，∴解得：k=；∴k和m的值分别为：3，；（2）联立：，得：，解得：，（舍），∴直线与函数图像的交点坐标为（2，）；（3）∵两个函数的交点为：（2，），由图像可知：当0＜x＜时，反比例函数图像在一次函数图像上面，∴不等式的解集为：0＜x＜.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，图像法解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想，结合图像解决问题.21.刘雨泽和黎昕两位同学玩抽数字游戏．五张卡片上分别写有2、4、6、8、这五个数字，其中两张卡片上的数字是相同的，从中随机抽出一张，已知（抽到数字4的卡片）．（1）求这五张卡片上的数字的众数；（2）若刘雨泽已抽走一张数字2的卡片，黎昕准备从剩余4张卡片中抽出一张．①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由；②黎昕先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出一张，用列表法（或树状图）求黎昕两次都抽到数字4第19页共19页\n的概率．【答案】（1）4；（2）①不同，理由见解析；②【解析】【分析】（1）根据抽到数字4的卡片的概率为可得x值，从而可得众数；（2）①分别求出前后两次的中位数即可；②画出树状图，再根据概率公式求解即可.【详解】解：（1）∵2、4、6、8、这五个数字中，（抽到数字4的卡片），则数字4的卡片有2张，即x=4，∴五个数字分别为2、4、4、6、8，则众数为：4；（2）①不同，理由是：原来五个数字的中位数为：4，抽走数字2后，剩余数字为4、4、6、8，则中位数为：，∴前后两次的中位数不一样；②由题意可得：可得共有16种等可能的结果，其中两次都抽到数字4的情况有4种，∴黎昕两次都抽到数字4的概率为.【点睛】本题考查了中位数，众数的概念及求法，以及列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解题意，分清放回与不放回的区别.22.如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点．第19页共19页\n（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）设四边形的面积为，求的最大值．【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可；（2）连接OP，设点P坐标为（m，），m＞0，利用S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB得出S关于m的表达式，再求最值即可.详解】解：（1）∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），设抛物线表达式为：，将C代入得：，解得：a=-2，∴该抛物线的解析式为：；（2）连接OP，设点P坐标为（m，），m＞0，∵A（-1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA=1，OC=4，OB=2，∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB==当m=1时，S最大，且为8.第19页共19页\n【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形CABP的面积表示出来.23.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【解析】【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，第19页共19页\n由题意可得：，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度，∴，∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，，解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160，过点F作FH⊥AB于点H，∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四边形HBGF为矩形，∴，∴AH==200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.第19页共19页\n【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．第19页共19页
