南充市二〇二〇年初中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则x值是（）A.4B.C.D.﹣4【答案】C【解析】【分析】根据解分式方程即可求得x的值．【详解】解：，去分母得，∴，经检验，是原方程的解故选：C．【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．2.2020年南充市各级各类学校学生人数约为1150000人，将1150000用科学计数法表示为（）A.1.15×106B.1.15×107C.11.5×105D.0.115×107【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：1150000用科学计数法表示为：1.15×106，故选：A．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位．3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（）第23页共23页\nA.πB.2πC.3πD.4π【答案】A【解析】【分析】B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π．【详解】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，∴，故选：A．【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A.3a+2b=5abB.3a·2a=6a2C.a3+a4=a7D.(a-b)2=a2-b2【答案】B【解析】【分析】根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可．【详解】A．不是同类项，不能合并，此选项错误；B．3a·2a=6a2，此选项正确；C．不是同类项，不能合并，此选项错误；D．(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题的关键．5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（）A.该组成绩的众数是6环B.该组成绩的中位数数是6环C.该组成绩的平均数是6环D.该组成绩数据的方差是10【答案】D第23页共23页\n【解析】分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；C、该组成绩的平均数是：（4+5+6+6+6+7+8）=6（环），故本选项正确；D、该组成绩数据的方差是：，故本选项错误；故选：D．【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．6.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（）A.B.C.a-bD.b-a【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选：C．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．7.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（）第23页共23页\nA.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，∵点E是线段BC的中点，∴EF、EG都是△OBC的中位线，∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝=S；故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．8.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A.B.C.D.【答案】B第23页共23页\n【解析】【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，第23页共23页\n当抛物线经过（3，1）时，a=，观察图象可知≤a≤3，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【解析】【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．【详解】解：∵抛物线的对称轴为，∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；故①正确；当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴，若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴，故②正确；若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，第23页共23页\n∴△＞0，25a-20a-5≥0，∴，∴；若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a-20a-5≤0，∴∴a＜，综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．故③正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11.计算：__________．【答案】【解析】【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．【详解】解：=-1+1=故答案为：．【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．【答案】38【解析】第23页共23页\n【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．【详解】解：∵两直线交于点O，∴∠1=∠2，∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．故答案为：38．【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．13.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任选3条，能构成三角形的概率为____．【答案】【解析】【分析】利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组数，就可求出概率．【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有：（1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4）共4个结果，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况，故能构成三角形的概率是．故答案为：.【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支．【答案】10【解析】【分析】首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可得，根据x最大且又能被5整除，即可求解．【详解】设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则，第23页共23页\n∵x最大且又能被5整除，y是正整数，∴x=10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．15.若，则__________．【答案】【解析】【分析】中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据，代入化简即可得到结果．【详解】解：故答案为：-2【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，tanD=3，则AB=__________．【答案】【解析】【分析】过C作CH⊥AE于H点，由旋转性质可得，根据三角函数可求得AC，BC长度，进而通过解直角三角形即可求得AB长度．【详解】解：过C作CH⊥AE于H点，第23页共23页\n∵AB为⊙O的直径，∴，由旋转可得，∴，∴，∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2，∴HE=1，CH=3，∴AC=CE=，∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3，∴BC=，∴AB=，故答案为：．【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共9个小题，共86分．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【详解】解：原式第23页共23页\n当时，原式．【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．【答案】详见解析【解析】分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到，，，从而有，可以验证和全等，从而得到AB=CD．【详解】证明：∵，，∴∴，∴在和中∴≌故．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．19.今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示：第23页共23页\n（1）计算赴B国女专家和D国男专家的人数，并将条形统计图补充完整;（2）根据需要，从赴A国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．【答案】（1）1，3，图详见解析；（2）【解析】【分析】（1）先求出B国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求D国专家的总人数，然后减去女专家人数即可；（2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可．【详解】解：（1）国女专家：（人），国男专家：（人），（注：补全条形图如图所示）；（2）从5位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是：男1男2女1女2女3男1（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）男2（男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，女2）（女1，女3）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）（女2，女3）第23页共23页\n女3（女3，男1）（女3，男2）（女3，女1）（女3，女2）由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有20种情况，并且出现的可能性相等，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，则抽到一男一女专家的概率为：．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题关键．20.已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴解得；（2）由一元二次方程根与系数关系，∵，∴即，解得．又由（1）知：，∴．第23页共23页\n【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于k的方程．21.如图，反比例函数的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作AAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD．（1）求反比例函数的解析式；（2）求四边形OCDB的面积．【答案】（1）；（2）10【解析】【分析】（1）求出点D的坐标即可解决问题；（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．【详解】解：（1）由点在上，则，∴，∵轴，与反比例函数图象交于点，且∴，即，∴，反比例函数解析式为；（2）∵是直线与反比例函数图象的交点∴，∵∴，则∴，，∴．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．第23页共23页\n22.如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．（2）若DF=，求tan∠EAD的值．【答案】（1）直线与圆相切，证明详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）直线与圆相切理由如下：连接∵平分∴∵∴∴由，得∵点在圆上∴是圆的切线（2）由（1）可得，在中，，，由勾股定理得∵∴即，得，第23页共23页\n∴在中，【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）【答案】（1）；（2）工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．【解析】【分析】（1）由图像可知，当，函数为常数函数z=16；当，函数为一次函数，设函数解析式为，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到z关于x的函数解析式；（2）根据x的不同取值范围，z关于x的关系式不同，设W为利润，当，，可知x=12时有最大利润；当，，当时有最大利润．【详解】解：（1）由图可知，当时，当时，是关于的一次函数，设则，得，即第23页共23页\n∴关于的函数解析式为（2）设第个生产周期工厂创造的利润为万元①时，当时，（万元）②时，当时，（万元）综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，能根据图像找到函数所过点；（2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键．24.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．（1）求证：AM=BN；（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．【答案】（1）详见解析；（2）是等腰直角三角形，理由详见解析；（3），长为或3．第23页共23页\n【解析】【分析】（1）由“AAS”可证△ABM≌△BCN，可得AM＝BN；（2）连接OB，由“SAS”可证△AOM≌△BON，可得MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性质可得∠MON＝90°，可得结论；（3）由勾股定理可求BK的值，由，四边形ABCD是正方形，可得：，，则可求得，由三角形面积公式可求得；点K在射线AD上运动，分两种情况：当点K在线段AD上时和当点K在线段AD的延长线时分别求解即可得到结果．【详解】解：（1）证明：∵∴又∵∴∴又∴≌（AAS）∴（2）是等腰直角三角形理由如下：连接，∵为正方形的中心∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，∵∠MAB＝∠CBM，∴，即∵∴≌（SAS）∴，∵∵∠AON+∠BON＝90°，第23页共23页\n∴∠AON+∠AOM＝90°，∴∴等腰直角三角形．（3）在中，由，四边形ABCD是正方形，可得：，∴，∴，得：∴，得：∴∴即：当点K在线段AD上时，则，解得：x1＝3（不合题意舍去），，当点K在线段AD的延长线时，同理可求得∴，解得：x1＝3，（不合题意舍去），综上所述：长为或3时，△OMN的面积为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键．25.已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）（1）求二次函数的解析式；（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．第23页共23页\n（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=，求点K的坐标．【答案】（1）；（2）线段上存在，使得，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点坐标为：或或或．【解析】【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点C坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M，由两点距离公式可得，可求或，即可求解；（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出，，由锐角三角函数可求，分DK与射线EC交于点和DK与射线EB交于两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．【详解】解：（1）二次函数的图象过点第23页共23页\n设二次函数解析式为又二次函数的图象过点，∴，即故二次函数解析式为（2）线段上存在，使得，理由如下：设中点为，由题意，易知的坐标为，若，则∵，∴≈的中点为设所在的直线为，则，得所在的直线为在线段上，设的坐标为，其中如图1，分别过，作轴与轴的垂线，，设，相交于点，∴∵∴整理得，解得或当时，，重合，不合题意（舍去）∴，则的坐标为故线段上存在，使得第23页共23页\n（3）如图2，过点作于点，设直线与交于点∵∴∵∴直线在中①若与射线交于点∴∴∴∴直线∴解得或②若与射线交于点∴∴第23页共23页\n∴∴直线，解得或综上所述，抛物线上符合条件的点坐标为：或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．第23页共23页
