2.8函数与方程第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程的近似解,了解用二分法求方程的近似解具有一般性.备考指导高考对本节的考查主要有三个方面:函数零点的概念、求函数的零点、根据函数的零点求参数.此类题目常与函数的性质、图象综合,有时也用到导数知识,考查数形结合思想的应用,有一定的难度.复习时要掌握基本初等函数图象及变换,善于应用转化与化归思想解题,提升直观想象和逻辑推理的数学素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.\n温馨提示1.函数f(x)的零点不是一个点,而是一个实数x0,且x0满足f(x0)=0.其实x0就是方程f(x)=0的根,也就是函数y=f(x)的图象与直线y=0(即x轴)交点的横坐标.2.并不是所有的函数都有零点,如函数就没有零点.3.当函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续的曲线,但是不满足f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点,也可能不存在零点.\n2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系\n3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.\n1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.2.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.3.周期函数若存在零点,则必有无穷个零点.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点.()(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)·f(b)<0.()(4)函数y=2sinx-1的零点有无数个.()(5)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()×√×√×\n2.函数的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是()A.(-2,6)B.[-2,6]C.{-2,6}D.(-∞,-2)∪(6,+∞)D由题意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故选D.\n4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表.那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5C由表中数据结合二分法的定义得零点存在于区间(1.40625,1.4375)内,观察四个选项,与其最接近的是选项C.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1函数零点所在区间的判断例1(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()C\n(2)已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-lnx)=e+1.若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)D令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f(f(x)-lnx)=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.\n解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.可简记为:端点函数符号反,区间(a,b)内有零点.(3)通过作函数的图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.\n对点训练1(1)函数f(x)=πx+log2x的零点所在的区间为()A因为函数f(x)在定义域上是增函数,所以f(x)至多存在一个零点.因为f(x)的图象在区间(0,+∞)内是连续的,\n(2)已知函数的零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)C因为函数在区间[1,2]上单调递增,且图象连续不断,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.\n(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上(填“存在”或“不存在”)零点.存在(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的,∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵6∈[1,8],-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.\n能力形成点2判断函数零点的个数例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4B函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,作出函数g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.\n(2)已知函数则函数y=f(f(x))+1的零点的个数是()A.4B.3C.2D.1B\n解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:当对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数问题.先作出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.\nB\nB(方法一)由f(x)=0,因此函数f(x)共有2个零点.(方法二)作出函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.\n能力形成点3用二分法求方程的近似解\n解题心得利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数,可利用函数图象确定方程的根所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z;(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M;(3)区间M内的任一实数均可作为方程的近似解,通常取区间M的一个端点.\n对点训练3用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:据此数据,可得方程3x-x-4=0的一个近似解为.(精确到0.01)56由于f(1.55625)≈-0.029和f(1.5625)≈0.003,显然f(1.55625)×f(1.5625)<0,故区间的端点四舍五入可得1.56.\n能力形成点4函数零点的应用例4已知函数,若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k≤2B.-1<k<0C.-2≤k<-1D.k≤-2D由y=|f(x)|+k=0,得|f(x)|=-k≥0,故k≤0.作出函数y=|f(x)|的图象,如图所示,要使直线y=-k与函数y=|f(x)|的图象有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,故选D.\n解题心得已知函数有零点(对应的方程有根),求参数取值范围的常用方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数的值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对函数的解析式变形,在同一平面直角坐标系中作出函数的图象,再数形结合求解.\n对点训练4已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)A函数f(x)=2ax-a+3为定义域上的单调函数,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,且函数f(x)的图象在区间(-1,1)内是连续的,则f(-1)×f(1)<0,可得(-3a+3)(a+3)<0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).\n第三环节 学科素养提升\n一元二次方程根的分布问题二次函数零点问题可转化为一元二次方程根的分布问题,可利用二次函数的图象与x轴的交点情况来研究,一般从开口方向、对称轴位置,判别式Δ的符号以及端点函数值的符号等方面考虑.设f(x)=ax2+bx+c(a>0),则f(x)的零点可用一元二次方程ax2+bx+c=0的根来研究.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根(不妨设x1<x2),判别式Δ=b2-4ac,k,k1,k2是常数(k1<k2),则x1,x2的分布范围与系数之间的关系有以下几种情形:\n\n\n典例已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.\n解:(1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,作出函数的大致图象,如图.\n(2)根据函数的图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内,作出函数的大致图象,如图.\n解题心得解一元二次方程根的分布问题的四个方向(1)对应抛物线的开口方向;(2)一元二次方程根的判别式;(3)对应区间端点函数值的符号;(4)对应抛物线的对称轴与区间端点的位置关系.
