2.8函数与方程\n-2-知识梳理双基自测2311.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)f(x)=0x轴零点连续曲线f(a)·f(b)<0f(x0)=0\n-3-知识梳理双基自测2312.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系(x1,0),(x2,0)(x1,0)210\n-4-知识梳理双基自测2313.二分法对于在区间[a,b]上连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0一分为二零点\n2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点.()(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)·f(b)<0.()(4)若函数f(x)在区间(a,b)内连续单调且f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sinx-1的零点有无数多个.()(6)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()×√×√√×\n-6-知识梳理双基自测234152.函数f(x)=1-xlog2x的零点所在区间是()答案解析解析关闭∵f(1)=1>0,f(2)=1-2=-1<0,∴f(1)·f(2)<0,且函数f(x)的图象是连续的,故选C.答案解析关闭C\n-7-知识梳理双基自测234153.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是()A.(-2,6)B.[-2,6]C.{-2,6}D.(-∞,-2)∪(6,+∞)答案解析解析关闭由题意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故选D.答案解析关闭D\n-8-知识梳理双基自测234154.函数f(x)=-|x|-+3的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭由已知得f'(x)=ex+3>0,故f(x)在R上是增函数,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,且函数f(x)的图象是连续的,所以f(x)的零点个数是1,故方程ex+3x=0有一个实数解.答案解析关闭B5.(教材例题改编P116例2)函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个数是()A.0B.1C.2D.3\n-10-知识梳理双基自测23415自测点评1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.2.“连续函数在一个区间端点处的函数值异号”是“这个函数在这个区间上存在零点”的充分条件,而不是必要条件.3.函数y=f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)·f(b)<0,若函数f(x)的图象是连续的,则f(x)在区间[a,b]上只有一个零点;若函数f(x)的图象不连续,则f(x)在区间[a,b]上可能没有零点.\n-11-考点1考点2考点3(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些?D例1(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()C\n-12-考点1考点2考点3(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.\n-13-考点1考点2考点3解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.\n-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)(2018安徽皖北四校联考)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个B\n-15-考点1考点2考点3(2)二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象如图所示,则函数g(x)=ex+f'(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上零点.(填“存在”或“不存在”)B存在\n-16-考点1考点2考点3∴g(0)g(1)<0.故选B.解析:(1)依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.\n-17-考点1考点2考点3(3)(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的,∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)·(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.\n-18-考点1考点2考点3例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为.思考判断函数零点个数的常用方法有哪些?B7\n-19-考点1考点2考点3\n-20-考点1考点2考点3(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图象,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.\n-21-考点1考点2考点3解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.\n-22-考点1考点2考点3A.0B.1C.2D.3对点训练2(1)函数f(x)=sin(πcosx)在区间[0,2π]上的零点个数是()A.3B.4C.5D.6答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法有哪些?D\n-24-考点1考点2考点3解析:由题意可知x=0为g(x)的一个零点.函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即函数f(x)与h(x)=|kx2-2x|的图象有4个交点,其中(0,0)为一个交点,当x>0时,由x3=|kx2-2x|可得x2=|kx-2|,当x<0时,由-x=|kx2-2x|可得1=|kx-2|,\n-25-考点1考点2考点3令φ(x)=μ(x),则x2-kx+2=0,因为两函数图象有2个交点,所以Δ>0,即k2-8>0,\n-26-考点1考点2考点3解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.\n-27-考点1考点2考点3g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.[-1,1)B.[-1,2)C.[-2,2)D.[0,2]答案解析解析关闭答案解析关闭\n-28-考点1考点2考点31.函数零点的常用判定方法:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0.2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
