2.4幂函数第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,的图象,了解它们的变化规律.备考指导本节重点是幂函数的图象和性质,复习时要熟记常见的五种幂函数的图象特点,并由此归纳幂指数与函数在第一象限部分的图象的关系.此外,要掌握二次函数在给定区间上的最值问题.重视数形结合和分类讨论思想的应用.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.幂函数的定义一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.五种幂函数的图象和性质(1)幂函数y=x,,y=x2,y=x-1,y=x3的图象.\n(2)五种幂函数的性质\n温馨提示1.幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称;2.在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数的图象相交,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列.\n3.二次函数的图象和性质\n问题思考二次函数的解析式有哪些常用形式?(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0);(3)零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).\n【知识巩固】×××√\n2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>cB由幂函数的图象可知,在区间(0,1)内幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B.\n3.已知函数y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则y的最小值是.-1因为函数y=2x2-6x+3的图象的对称轴为直线,所以函数y=2x2-6x+3在区间[-1,1]上单调递减,故当x=1时取得最小值,ymin=2-6+3=-1.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1幂函数的图象和性质例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()C\n拓展延伸\n解题心得1.幂函数的主要性质:(1)幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在区间(0,+∞)内单调递增.(3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在区间(0,+∞)内单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α>1时,曲线下凸;当0<α<1时,曲线上凸;当α<0时,曲线下凸.2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较;准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.\n对点训练1(1)(多选)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(2,8),下列说法正确的是()A.函数y=xα的图象过原点B.函数y=xα是偶函数C.函数y=xα是减函数D.函数y=xα的值域为RAD因为幂函数y=xα的图象过点(2,8),所以2α=8,解得α=3,所以y=x3.函数y=x3的图象经过原点,所以A选项正确;y=x3是奇函数,所以B选项错误;y=x3在R上为增函数,所以C选项错误;y=x3的值域为R,所以D选项正确.\nD由幂函数的图象关于y轴对称,可知该函数为偶函数,所以p为偶数,则q为奇数,因为图象在第一象限内向上凸起,且在区间(0,+∞)内单调递增,所以\n能力形成点2求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.\n\n(方法三:交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值8,解得a=-4.因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.\n解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.\n对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=.x2+2x因为f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0),此时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a.解得a=1.因此f(x)的解析式为f(x)=x(x+2)=x2+2x.\n能力形成点3二次函数在给定区间上的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为m,求m.解因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,所以其图象的对称轴为直线x=1.由于x=1不一定在区间[-2,a]内,当-2<a≤1时,函数在区间[-2,a]上单调递减,则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;当a>1时,函数在区间[-2,1]上单调递减,在区间[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.\n解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查图象的对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.\n对点训练3已知当x∈[0,1]时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a有最大值2,则a的值为.-1或2函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,其图象的对称轴为直线x=a.当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a,则1-a=2,即a=-1.当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a+1,则a2-a+1=2,当a>1时,f(x)max=f(1)=a,则a=2.综上可知,a=-1或a=2.\n第三环节 学科素养提升\n数形结合思想在幂函数中的应用数形结合思想在解决数学问题时会起到意想不到的简便作用,我们在解题过程中,要紧紧把握好这一数学思想方法,使题目得到快速的解决.\n解:设f(x)=xα,将代入,得α=2,故f(x)=x2;同理可得g(x)=x-2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.由图象可知:(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);(2)当x=±1时,f(x)=g(x);(3)当-1<x<1,且x≠0时,f(x)<g(x).\n解题心得函数的图象在解方程和不等式中有着重要的应用,正确地做出两个函数的图象是解决这类问题的关键;正确地求出两个函数图象的交点,把不等式问题转化成图象求交点的问题,从而写出正确的答案,在数学中是一种重要的转化方法.\n变式训练(多选)已知实数a,b满足等式,则下列关系式中可能成立的是()A.0<b<a<1B.-1<a<b<0C.1<a<bD.a=b从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是ACD.ACD
