7.3空间直线、平面的平行第七章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中直线、平面平行的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.备考指导空间直线、平面的平行包括平行关系的证明和根据平行关系证明相关结论,是立体几何的重点,多在解答题的第一个问号中考查.对逻辑推理和直观想象的学科素养体现较多,难度中等.复习时要熟悉各个判定定理和性质定理,依据条件进行证明.有时候需要从结论入手,通过逆推寻找解题思路.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】直线与平面、平面与平面平行的判定定理与性质定理\n\n温馨提示三种平行关系的转化\n1.两条平行线中的一条直线与平面平行(另一条直线不在该平面内),另一条直线也与这个平面平行.2.过平面外一点可以作无数条直线与该平面平行,这些直线都在同一平面内.3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.\n8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.10.垂直于同一条直线的两个平面平行.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.()(3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.()(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(5)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()××××√\n2.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是()A.AD1∥BC1B.平面AB1D1∥平面BDC1C.AD1∥DC1D.AD1∥平面BDC1ABD如图,因为ABC1D1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,所以AD1∥BC1,所以A正确.易证BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,所以平面AB1D1∥平面BDC1,所以B正确.易知AD1与DC1异面,故C错误.因为AD1∥BC1,AD1⊄平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,所以AD1∥平面BDC1,故D正确.\n3.如图,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是.平面ABC,平面ABD如图,连接AM并延长交CD于点E,连接BN并延长交CD于点F.由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB,所以MN∥平面ABC,且MN∥平面ABD.\n4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则EF=.根据题意,因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又E是AD的中点,所以F是CD的中点.因此,在Rt△DEF中,DE=DF=1,从而\n5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则点M满足条件时,有MN∥平面B1BDD1.M∈线段FH由题意易知平面HNF∥平面B1BDD1,当点M满足在线段FH上时有MN∥平面B1BDD1.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1线面平行、面面平行的基本问题例1(1)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥nB.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥βDA中,m与n可能相交、异面或平行;B中,m与n可能平行或异面;C中,α∥β,仍然可满足m⊥n,m⊂α,n⊂β,故C错误;D正确.\n(2)设m,n表示不同直线,α,β表示不同平面,则下列说法正确的是()A.若m∥α,m∥n,则n∥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥βD.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥βDA错误,n有可能在平面α内.B错误,平面α有可能与平面β相交.C错误,n也有可能在平面β内.D正确,易知m∥β或m⊂β,若m⊂β,又n∥m,n⊄β,则n∥β;若m∥β,过m作平面γ交平面β于直线l,则m∥l,又n∥m,∴n∥l,又n⊄β,l⊂β,∴n∥β.解题心得线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现,可通过画图,用数形结合的方法解决问题.正方体是较为常见的模型.\n对点训练1(1)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是()A.b⊂αB.b∥αC.b⊂α或b∥αD.b与α相交或b⊂α或b∥αD当b与α相交或b⊂α或b∥α时,均可满足直线a⊥b,且直线a∥平面α的情况,故选D.\n(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()A.3B.2C.1D.0C①中,当α与β相交时,也存在符合题意的l,m;②中,l与m也可能异面;③中,l∥γ,l⊂β,β∩γ=m⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n.\n能力形成点2直线与平面平行的判定与性质例2如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,点D为AB的中点.(1)证明:AC1∥平面B1CD;(2)若P,Q分别是△A1CD与△B1CD的重心,证明:PQ∥平面ABC.\n证明(1)如图,连接BC1,交B1C于点O,连接OD.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1是平行四边形,所以O是BC1的中点.因为D为AB的中点,所以OD∥AC1.又OD⊂平面B1CD,AC1⊄平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.\n(2)如图,P是△A1CD的重心,连接A1P并延长,交CD于点M,则M为CD的中点.同理连接B1Q,并延长,与CD也相交于点M.又因为AB∥A1B1,所以PQ∥AB.因为PQ⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以PQ∥平面ABC.\n解题心得1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.2.利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式等证明两直线平行.3.证明线面平行时,注意说明已知直线不在已知平面内.\n对点训练2如图所示,在多面体中,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,AD∥BC,AB=CD,∠ABC=60°,BC=2AD=4DE=4.(1)在AC上求作点P,使PE∥平面ABF,请写出作法并说明理由;(2)求三棱锥A-CDE的高.\n解(1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接PE,此时P为所求作的点,如图所示.理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.又BC∥AD,∴四边形BGDA为平行四边形,∴DG∥AB,即DP∥AB.又AB⊂平面ABF,DP⊄平面ABF,∴DP∥平面ABF.∵AF∥DE,AF⊂平面ABF,DE⊄平面ABF,∴DE∥平面ABF.又DP⊂平面PDE,DE⊂平面PDE,DP∩DE=D,∴平面ABF∥平面PDE.又PE⊂平面PDE,∴PE∥平面ABF.\n\n能力形成点3平面与平面平行的判定与性质例3如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面CD1B1=直线l,证明:B1D1∥l.\n证明(1)由题设知BB1DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.因为BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1B1C1BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.因为A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面CD1B1=直线l,平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,所以直线l∥直线BD.又由(1)知BD∥B1D1,所以B1D1∥l.\n解题心得1.证明面面平行的方法(1)定义法:两个平面没有公共点.(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.(3)转化为线线平行:若平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.\n2.应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤\n对点训练3如图,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.(1)求证:平面MNG∥平面ACD;(2)求S△MNG∶S△ADC.\n(1)证明连接BM,BN,BG,并延长分别交AC,AD,CD于点P,F,H.∵M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,连接PF,FH,PH,则MN∥PF.又PF⊂平面ACD,∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD.∵MG∩MN=M,∴平面MNG∥平面ACD.\n\n第三环节 学科素养提升\n分类讨论思想在空间平行关系中的应用典例如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,点C∈α,点B∈β,点D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求证:EF∥平面β;(2)若E,F分别是AB,CD的中点,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角为60°,求EF的长.\n(1)证明:①当AB,CD在同一平面内时,∵平面α∥平面β,平面α∩平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,∴AC∥BD.∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF⊄β,BD⊂β,∴EF∥平面β.②当AB与CD异面时,如图所示,设平面ACD∩平面β=HD,且HD=AC,∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,∴AC∥HD,∴四边形ACDH是平行四边形.在AH上取一点G,使AG∶GH=CF∶FD,连接EG,FG,BH.∵AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH,∴GF∥HD,EG∥BH.又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β.又EF⊂平面EFG,∴EF∥平面β.综合①②可知,EF∥平面β.\n(2)解:如图所示,连接AD,取AD的中点M,连接ME,MF.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴ME∥BD,MF∥AC,\n解题心得利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段长度或线段比例问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.
