第七章立体几何\n第三讲 空间直线、平面的平行\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\na∥ba∥αα∩β＝ba∥b\nα∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b\n1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．()(2)平行于同一条直线的两个平面平行．()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()×××\n(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.()(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.()√××\n题组二 走进教材2．(必修2P142T2)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．α内有无数条直线都与β平行B．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD\n[解析]对于选项A，若存在无数条直线与β平行，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．\n题组三 走向高考3．(2019·课标全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面B\n4．(2017·课标全国Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()A\n[解析]B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A．\n5.(2017·天津，节选)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.求证：MN∥平面BDE.\n[证明]解法一：连PN交BE于H，连HD．\n\n\n\n考点突破·互动探究\n(1)(多选题)(2022·河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a，b和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，a∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β例1CD考点一空间平行关系的基本问题——自主练透\nl⊄α\n\n〔变式训练1〕(多选题)(2022·吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD1平行的是()A．直线EFB．直线GHC．平面EHFD．平面A1BC1ABD\n\n例2考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究\n\n证法二(构造中位线)：延长DA、CB相交于H，连PH，\n\n\n判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．MINGSHIDIANBO\n角度2线面平行的性质如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.例3求证：PA∥GH.\n[解析]证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO.又MO⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，∴PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA⊂平面PAHG，∴PA∥GH.\n空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.已知l∥α，一般找或作过l且与α相交的平面探求解题方向．(2)利用平行公理：平行于同一直线的两条直线互相平行．(3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行．MINGSHIDIANBO\n〔变式训练2〕(1)(角度1)(2022·广东佛山质检，节选)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，E、F分别为AD、PC的中点．\nC\n\n\n解法二：取BC的中点H，连FH，HE，∵F为PC的中点，∴FH∥BP，又FH⊄平面PAB，∴FH∥平面PAB，又E为AD的中点，且四边形ABCD为平行四边形，∴HE∥BA，又HE⊄平面PAB，∴HE∥平面DAB，又FH∩EH＝H，∴平面EFH∥平面PAB，∴EF∥平面PAB．\n解法三：连CE并延长交BA的延长线于H，连PH.∵E为平行四边形ABCD的边AD的中点，∴△CDE≌△HAE，∴CE＝EH，又F为PC的中点，∴EF∥PH，又EF⊄平面PAB，PH⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．\n\n(2021·山东泰安市月考节选)如图，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD为正三角形，E，F，G分别在线段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA．例4考点三两个平面平行的判定与性质——师生共研\n证明：平面GBD∥平面PEF.\n\n\n\n证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．MINGSHIDIANBO\n\n〔变式训练3〕(2022·南昌模拟节选)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD．设M，N分别为PD，AD的中点．\n求证：平面CMN∥平面PAB．[证明]∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB．\n名师讲坛·素养提升\n探索性问题求解策略(2022·安徽皖北联考)如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．例5(1)求证：GF∥平面ABC；(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．\n[解析](1)∵四边形ABED为正方形，F为BD的中点，∴E、F、A共线，连AE，又G为EC的中点，∴GF∥AC，又GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC．\n注：本题也可取BE的中点Q，连GQ、FQ，通过证平面GFQ∥平面ABC来证；或取BC的中点M，AB的中点N，连GM、MN、NF，通过证四边形GMNF为平行四边形得GF∥MN来证．(2)当H为BC的中点时，平面GFH∥平面ACD．证明如下：∵G、H分别为EC、BC的中点，∴GH∥BE，又BE∥AD，∴GH∥AD，又GH⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，\n∴GH∥平面ACD，又GF∥AC，GF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴GF∥平面ACD，又GF∩GH＝G，GF⊂平面GFH，GH⊂平面GFH，∴平面GFH∥平面ACD．[引申]ED上是否存在一点Q，使平面GFQ∥平面ACD．[解析]当Q为ED的中点时，平面GFQ∥平面ACD．\n平行中的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．MINGSHIDIANBO\n(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．\n〔变式训练4〕(2022·湖南模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AD，E为AD的中点．在线段B1C1上是否存在点F，使得平面A1AF∥平面ECC1？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由\n[解析]存在，当点F为线段B1C1的中点时，平面A1AF∥平面ECC1.证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1.又因为CC1⊂平面ECC1，AA1⊄平面ECC1，所以AA1∥平面ECC1.又E为AD的中点，F为B1C1的中点，AD∥B1C1，\n所以AE∥FC1，且AE＝FC1.故四边形AEC1F为平行四边形，所以AF∥EC1，又因为EC1⊂平面ECC1，AF⊄平面ECC1，所以AF∥平面ECC1.又因为AF∩AA1＝A，AA1⊂平面A1AF，AF⊂平面A1AF，所以平面A1AF∥平面ECC1.
