第七章立体几何\n第四讲 空间直线、平面的垂直\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 直线与平面垂直(1)直线与平面垂直①定义：若直线l与平面α内的______一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．②判定定理：一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，______，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线______.即：a⊥α，b⊥α⇒______.任意相交b⊂α平行a∥b\n锐角0\n知识点二 平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱______的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．③二面角θ的范围：θ∈[0，π]．两个半平面垂直\n(2)平面与平面垂直①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒______.③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒______.直二面角α⊥β交线a⊥β\n1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()××√×√×\n题组二 走进教材2．(必修2P164T15)(2022·广州中学教学研究会调研)如图1，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿SE、SF、EF将正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EGF中()A．SG⊥平面EFGB．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEFA\n[解析]由题意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故选A．\nA\n\n题组三 走向高考4．(2019·北京)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________________________________________________.若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)[解析]由l，m是平面α外的两条不同直线，及线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α，若l⊥α，m∥α，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得l⊥m，∴若l⊥α，m∥α，则l⊥m，故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α.(或若l⊥α，m∥α，则l⊥m)．\n5．(2021·全国高考节选)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，\n[证明]证法一：取BC的中点H，连EH、B1H，∵E为AC的中点，∴EH∥AB，又AB∥A1B1，∴EH∥A1B1，即E、H、B1、D共面，又A1B1⊥BF，∴EH⊥BF.又AB＝BC，由题意易知四边形BCC1B1为正方形，又F为CC1的中点，∴BF⊥HB1，又HB1∩EH＝H，∴BF⊥平面EHB1D，又ED⊂平面EHB1D，∴BF⊥ED．\n\n∴A1E⊥EF，A1E⊥EB，∴A1E⊥平面BEF，从而A1E⊥BF.又A1E∩A1B1＝A1，∴BF⊥平面A1EB1，又ED⊂平面A1EB1，∴BF⊥DE.\n证法三：同证法二可知AB、BC、BB1两两垂直，如图建立空间直角坐标系，∵AB＝BC＝2，∴E(1,1,0)，B(0,0,0)，F(0,2,1)，D(a,0,2)(0≤a≤2)，\n考点突破·互动探究\n(1)(2022·河北保定七校联考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p：m⊥n，若p是q的必要条件，则q可能是()A．q：m⊥α，n∥β，α⊥βB．q：m⊂α，n⊥β，α∥βC．q：m⊥α，n⊥β，α∥βD．q：m⊂α，n∥β，α⊥β例1B考点一空间垂直关系的基本问题——自主练透\n(2)(2022·广东珠海模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l⊥α的是()A．l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂αB．l⊥m，m∥αC．α⊥β，l∥βD．l∥m，m⊥αD\n(3)(多选题)(2022·广东惠州调研)在空间中，α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法正确的有()A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nC．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nD．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥βABD\n[解析](1)由题知q能推出p：m⊥n.对A，当m∥n时仍然可以有m⊥α，n∥β，α⊥β.故A错误．对B，n⊥β，α∥β，则n⊥α，又m⊂α，则m⊥n.故B正确．对C，m⊥α，α∥β则m⊥β，又n⊥β，故m∥n.故C错误．对D，当α⊥β且相交于m时，若n∥m，也满足m⊂α，n∥β.故D错误．(2)由α，β是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，知：对于A，l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；\n对于B，l⊥m，m∥α，则l与α相交、平行或l⊂α，故B错误；对于C，α⊥β，l∥β，则l与α相交、平行或l⊂α，故C错误；对于D，l∥m，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故D正确．故选D．(3)由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又由n⊂β，得α⊥β，A正确；由α∥β，m⊥α，得m⊥β，又由n⊥β，得m∥n，B正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，m，n可能平行也可能是异面直线，C错误；由面面垂直的性质定理知D正确．\n解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决，其实最好的办法是笔当线，纸、手掌当面动态演示．如知a∥α，可将笔看成a，桌面看成α，让笔平移、旋转，如知a⊥α，将笔看成a，让笔平移，很容易做出正确判定，事半功倍．MINGSHIDIANBO\n〔变式训练1〕(1)(2022·四川广元模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB\n(2)(2022·福建福州调研)已知两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是()A．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA\n[解析](1)若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β或α与β相交，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选B．\n\n例2考点二直线与平面垂直的判定与性质——多维探究\n\n又PC＝4，∵CM2＋PM2＝PC2，∴CM⊥PM，又PM⊂平面PAB，AB⊂平面APB，AB∩PM＝M，∴CM⊥平面PAB．\n例3\n\n证法2：∵AB为⊙O的直径，∴PA⊥PB，如图建立空间直角坐标系，\n1．证明线线垂直的常用方法(1)利用特殊图形中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理．(4)利用直线与平面垂直的性质．(5)向量法：a⊥b⇔a·b＝0.MINGSHIDIANBO\n2．证明线面垂直的常用方法(1)利用判定定理，它是最常用的思路．(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．(4)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量平行．\n〔变式训练2〕(1)(角度1)(2020·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD．∠ADC＝60°，若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD．\n(2)(角度2)(2021·河北“五个一联盟”联考，节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，△ACD是边长为1的等边三角形．证明：CD⊥B1D．\n[证明](1)证法1：∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴DC⊥AC，又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥DC．∴DC⊥平面AA1C1C，又AC1⊂平面AA1C1C，∴DC⊥AC1，∵AA1＝AC，∴四边形AA1C1C为正方形，连接A1C，∴AC1⊥A1C，而DC∩A1C＝C，∴AC1⊥平面A1B1CD．\n证法2：∵AD＝2CD，∠ADC＝60°，∴∠ACD＝90°，则CD，CA，CC1两两垂直．如图，建立空间直角坐标系C－xyz.\n\n(2)∵△ACD是边长为1的等边三角形，∴∠CAD＝60°，∠DA1C1＝120°.∵D是AA1的中点，△ACD的边长为1，∴AD＝A1D＝A1C1＝1，即△A1C1D是等腰三角形，∴∠A1DC1＝30°，从而∠CDC1＝90°，即CD⊥C1D．∵B1C1⊥平面AA1C1C，且CD⊂平面AA1C1C，∴B1C1⊥CD．∵B1C1∩C1D＝C1，B1C1⊂平面B1C1D，C1D⊂平面B1C1D，∴CD⊥平面B1C1D．∵B1D⊂平面B1C1D，∴CD⊥B1D．\n例4考点三两个平面垂直的判定与性质——师生共研\n\n\n\n(2022·黑龙江大庆市质检)在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点．(1)求证：BE⊥平面PAD；(2)求点E到平面PAB的距离．例5\n[解析](1)连接BD，在△PAD中，PA＝PD＝2，E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE，又∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BE⊥AD，又∵PE∩AD＝E，PE⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD．\n\n\n(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．一般在一个平面内找交线的垂直，证此线与另一面垂直．(2)在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．MINGSHIDIANBO\n\n\n(2)(2022·山东济宁模拟节选)如图，四边形ABEF是矩形，平面ABC⊥平面ABEF，D为BC中点，AB＝AC．\n[解析](1)取AD的中点O，连接OC交BD于F点，连接EF，∵△PAD是等边三角形，∴PO⊥AD，∵OD∥BC，BC＝2OD，∴FC＝2OF.又∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD，又∵平面BDE⊥平面ABCD，∴PO∥平面BDE.\n(2)因为AB＝AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，因为四边形ABEF是矩形，所以FA⊥AB，因为平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，AF⊂平面ABEF，所以AF⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以AF⊥BC，又AF，AD⊂平面ADF，AF∩AD＝A，所以BC⊥平面ADF，又BC⊂平面BCF，所以平面ADF⊥平面BCF.\n名师讲坛·素养提升\n例6B\n(2)(多选题)(2021·山东日照模拟)已知正方体ABC－A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是()ACD\n[解析](1)用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．\n\n\n\n\n立体几何中的轨迹问题是常转化为两面的交线，或在某面内建立坐标系通过求轨迹方程求解．MINGSHIDIANBO\n〔变式训练4〕(1)(2022·安徽蚌埠质检)平面α的一条斜线AP交平面α于P点，过定点A的直线l与AP垂直，且交平面α于M点，则M点的轨迹是()A．一条直线B．一个圆C．两条平行直线D．两个同心圆A\nB\n
