6.3等比数列及其前n项和\n-2-知识梳理双基自测211.等比数列(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.数学2同一个常数公比q(q≠0)\n-3-知识梳理双基自测21(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒.(3)等比数列的通项公式an=;可推广为an=.(4)等比数列的前n项和公式G2=aba1qn-1amqn-m\n-4-知识梳理双基自测212.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=;若m+n=2k,则(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则am·anqm\n-5-知识梳理双基自测21④当q<0时,{an}为摆动数列.(5)当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为.递增递减常qn\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()(5)若数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.()(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为××√×××\n-7-知识梳理双基自测234152.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了()(“里”是非国际通用单位)A.60里B.48里C.36里D.24里答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234153.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是{an}的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.54答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234154.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a3=16,则数列{log2an}的前4项和等于.答案解析解析关闭由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(16×16)=8.答案解析关闭8\n-10-知识梳理双基自测234155.在等比数列{an}中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q>1,则a3=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.2.在等比数列中,由an+1=qan,q≠0,并不能立即判断{an}为等比数列,还要验证a1≠0;若am·an=ap·aq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列,但若m+n=p+q,则有am·an=ap·3.在运用等比数列的前n项和公式时,若不能确定q与1的关系,则必须分q=1和q≠1两种情况讨论.\n-12-考点1考点2考点3考点4思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?32(2)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()CB\n-13-考点1考点2考点3考点4(2)设等比数列{an}的公比为q(q>0),所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.解析:(1)由题意可知公比q≠1.\n-14-考点1考点2考点3考点4\n-15-考点1考点2考点3考点4解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.\n-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()(2)(2020全国Ⅱ,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1DB\n-17-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵S3=a1+a2+a3=3a3,∴a1+a2=2a3,化简可得1+q-2q2=0,\n-18-考点1考点2考点3考点4例2已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?\n-19-考点1考点2考点3考点4\n-20-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k≠0,q≠0,1),则数列{an}为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明\n-21-考点1考点2考点3考点4对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.(1)证明:∵an+Sn=n,①∴an+1+Sn+1=n+1.②②-①得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,\n-22-考点1考点2考点3考点4\n-23-考点1考点2考点3考点4考向一等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?14B\n-24-考点1考点2考点3考点4\n-25-考点1考点2考点3考点4考向二等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?答案解析解析关闭(方法1)∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.(方法2)设等比数列{an}的公比为q,则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)×3=15,解得q2=4.故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)=(1+4+42)×3=63.答案解析关闭C\n-26-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=am·an(m+n=2p)及ak·al=am·an(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.\n-27-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a5·a6=4,则数列{log2an}的前10项和为()A.5B.6C.10D.12(2)已知等比数列{an}的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若,则公比q=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-28-考点1考点2考点3考点4例5已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;(2)若T3=21,求S3.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?\n-29-考点1考点2考点3考点4解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2,得d+q=3.①(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.②因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.\n-30-考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.\n-31-考点1考点2考点3考点4对点训练4已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.\n-32-考点1考点2考点3考点4(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.当an=4n-2时,令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.\n-33-考点1考点2考点3考点41.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)等比中项法:=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.\n-34-考点1考点2考点3考点43.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q≠1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.\n-35-审题答题指导——如何理解条件和转化条件典例在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列{an}是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列{an}的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9m<an<92m的n的范围.\n-36-解：(1)设等差数列{an}的公差为d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,∴an=1+(n-1)×9=9n-8,即an=9n-8.\n-37-反思提升本题第(2)问设置了落入区间内的项的个数构成新数列,这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列{bm}的通项公式是解答该问题的核心与关键.
