8.4直线与圆、圆与圆的位置关系第八章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.理解并体会用几何法和代数法两种方法解决直线与圆、圆与圆的位置关系的问题.备考指导直线与圆、圆与圆的位置关系是高考命题的重点,高考中常以选择题或填空题的形式出现,难度中等,主要体现在位置关系的判断和应用,有时也与椭圆、双曲线、抛物线相融合.本节常用的方法有几何法、代数法,要重视从方程组的角度分析与位置关系相关的问题,要加强逻辑推理、数学运算、直观想象的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.\n问题思考1在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么?应注意判断这一定点与圆的位置关系:若点在圆上,则该点为切点,只有一条切线;若点在圆外,则有两条切线;若点在圆内,则没有切线.\n\n问题思考2当由两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确地判定两圆的位置关系?不能,当两圆的方程组成的方程组有一解时,两圆有外切和内切两种情况;当方程组无解时,两圆有外离和内含两种情况.\n1.当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在直线的方程.2.(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,两切点所在直线的方程为x0x+y0y=r2.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.()(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(4)将两圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(5)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程为x0x+y0y=r2.()√×××√\n2.若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m的值为()A.16B.-4C.-4或16D.-73.若直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是()CD\n4.圆C1:x2+(y-1)2=4与圆C2:(x-3)2+y2=1的公切线共有条.5.过点A(3,5)作圆C:x2+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为.45x-12y+45=0或x-3=0\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1直线与圆的位置关系及其应用例1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定B\nD\n(3)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为()A.1B.2C.3D.4C\n解题心得1.判断直线与圆的位置关系时,若直线与圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想,结合图形,利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式.\n对点训练1(1)直线ax-by=0与圆x2+y2-2ax+2by=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定B\nB\nBC\n能力形成点2圆的切线与弦长问题命题角度1求圆的切线方程(切线长)例2(1)过点(2,0)作直线l与圆x2+y2-2x-6y+9=0相切,则直线l的方程为()A.4x+3y-8=0B.4x+3y-8=0或x=2C.x=2D.x+2=0Bx2+y2-2x-6y+9=0可化为(x-1)2+(y-3)2=1,即圆的圆心为(1,3),半径r=1.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2,此时直线l与圆相切.若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,\n(2)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.\n命题角度2求弦所在直线的方程或弦长例3(1)若a,b,c为△ABC的三个内角所对的边,且csinC=3asinA+3bsinB,则直线l:ax-by+c=0被圆O:x2+y2=12所截得的弦长为()C\n(2)已知过点(-2,3)的直线l与圆x2+y2+2x-4y=0相交于A,B两点,当|AB|取得最小值时,l的方程为()A.x-y+5=0B.x+y-1=0C.x-y-5=0D.2x+y+1=0A由已知得点(-2,3)在圆内,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2).过圆心与点(-2,3)的直线l1的斜率为当l⊥l1时,|AB|取得最小值,此时直线l的斜率为1,因此直线l的方程为y-3=x-(-2),即x-y+5=0.\n解题心得1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上,则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.\n对点训练2(多选)已知直线y=kx-1与圆C:(x+3)2+(y-3)2=36相交于A,B两点,则弦AB的长度可能为()A.6B.8C.12D.16BC\n(2)已知圆x2+y2=5,则过点P(2,-1)的圆的切线方程是.2x-y-5=0由题意可知点P在圆x2+y2=5上.所以切线的斜率k=2,所以切线的方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.\n(3)已知三角形的三个顶点为O(0,0),M(6,0),N(8,4),过点(3,5)作其外接圆的弦,若最长弦与最短弦分别为AC,BD,则四边形ABCD的面积为.\n能力形成点3圆与圆的位置关系及其应用例4(1)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()C\n(2)圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交所得公共弦所在直线的方程为,其长度为.2x+4y-5=0\n拓展延伸(1)若把例4(1)条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为.(2)若把例4(1)条件中的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是.相离\n解题心得1.判断两圆的位置关系通常用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.若用代数法,则要从方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.解决两圆位置关系中的含参数问题,有时需要将问题进行转化,注重数形结合思想的应用.\n对点训练3(1)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()B\n(2)过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则直线AB的方程为.2x+2y+5=0\n第三环节 学科素养提升\n易错警示——未对曲线方程正确等价变形致错典例1若直线l:y=x+b与曲线恰有两个公共点,则实数b的取值范围是.\n\n解题心得1.注意曲线方程的等价变形,尤其要明确含根式的取值范围,如上述典例中的曲线均为半圆.2.求解两条曲线上的点之间的距离的最值,要灵活运用曲线的性质进行转化.如典例2中点P在半圆上,故应将问题转化为半圆上的点到直线的距离的最值问题求解.
