9.4直线与圆、圆与圆的位置关系\n-2-知识梳理双基自测2311.直线与圆的位置关系设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.<>==><\n-3-知识梳理双基自测231d>r1+r2无解d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2一组实数解无解\n-4-知识梳理双基自测2313.常用结论(1)当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.(2)①过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.③过圆x2+y2=r2(r>0)外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.\n2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解,则这两个圆的位置关系为外切.()(3)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(4)过圆O:x2+y2=r2(r>0)外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.()(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()√××√√\n-6-知识梳理双基自测234152.“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析解析关闭直线l:y=kx+a经过定点P(0,a),显然当a=1时,点P在圆C内,所以直线l与圆C恒相交,故“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的充分条件;而当a=0时,亦有直线l和圆C相交,所以“a=1”不是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的必要条件.综上,“a=1”是“直线l:y=kx+a和圆C:x2+y2=2相交”的充分不必要条件.答案解析关闭A\n-7-知识梳理双基自测234153.已知直线y=mx与圆x2+y2-4x+2=0相切,则m的值为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234154.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234155.圆(x-2)2+(y+1)2=4与圆(x-3)2+(y-2)2=4的位置关系是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-考点1考点2考点3例1(1)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)如果过原点的直线l与圆x2+(y-4)2=4切于第二象限,那么直线l的方程是()思考在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-考点1考点2考点3解题心得1.判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用此法.(2)代数法:联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断.若圆心到直线的距离表达较烦琐,则用此法.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点,且定点在圆内,则可判断直线与圆相交.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决.\n-12-考点1考点2考点3对点训练1(1)若直线l过点A(0,a),斜率为1,圆x2+y2=4上恰有3个点到l的距离为1,则a的值为()(2)若过点A(4,0)的直线l与圆C:(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的最小值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-考点1考点2考点3例2已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过M点的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2,求a的值.思考如何运用圆的几何性质求解圆的切线与弦长问题?\n-14-考点1考点2考点3解(1)圆心C(1,2),半径r=2,当直线的斜率不存在时,方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.即3x-4y-5=0.故过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.\n-15-考点1考点2考点3\n-16-考点1考点2考点3解题心得1.求过某点的圆的切线问题时,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2.求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.\n-17-考点1考点2考点3对点训练2一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()D解析:由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.\n-18-考点1考点2考点3例3已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为()思考在两圆的位置关系中,圆心距与两圆半径的关系如何?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-19-考点1考点2考点3解题心得1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如果用代数法,那么从交点个数也就是方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行化归,要注重数形结合思想的应用.\n-20-考点1考点2考点3对点训练3(1)若把例3条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为.(2)若把例3条件的“外切”改为“相交”,则公共弦所在的直线方程为.(3)若把例3条件的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是.\n-21-考点1考点2考点3(2)由题意得,把圆C1,圆C2的方程都化为一般方程.圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,①圆C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,②由②-①得(2a+2b)x+3+b2-a2=0,即(2a+2b)x+3+b2-a2=0为公共弦所在直线方程.\n-22-考点1考点2考点3(3)由两圆存在四条切线,故两圆外离,故(a+b)2>9,即a+b>3或a+b<-3.∴直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相离.
