7.5数学归纳法\n-2-知识梳理双基自测211.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.k+1\n-3-知识梳理双基自测212.数学归纳法的框图表示\n2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()(4)用数学归纳法证明问题时,必须要用归纳假设.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+”,验证当n=1时,等号左边的式子应为1+2+22+23.()×××√√\n-5-知识梳理双基自测23415C\n-6-知识梳理双基自测23415要用归纳假设再证()A.当n=k+1时,等式成立B.当n=k+2时,等式成立C.当n=2k+2时,等式成立D.当n=2(k+2)时,等式成立B\n-7-知识梳理双基自测234154.在用数学归纳法证明“平面内有n条(n≥2)直线,任何两条不平行,任何三条不过同一个点的交点个数为时,第一步验证n0等于()A.1B.2C.3D.4答案解析解析关闭因为平面内不平行的两条相交直线就有交点,所以验证n0=2.答案解析关闭B\n-8-知识梳理双基自测234155.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添的代数式是.答案解析解析关闭∵当n=k时,左侧=1+2+3+…+k2,当n=k+1时,左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,∴当n=k+1时,左端应在n=k的基础上增添(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.答案解析关闭(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2\n-9-考点1考点2考点3思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些?证明：①当n=1时,\n-10-考点1考点2考点3②假设当n=k时等式成立,这就是说,当n=k+1时等式也成立.由①和②可知,对任何n∈N*等式都成立.\n-11-考点1考点2考点3解题心得用数学归纳法证明等式的注意点:(1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.(3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.\n-12-考点1考点2考点3\n-13-考点1考点2考点3\n-14-考点1考点2考点3例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴的交点的横坐标,试运用数学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3.思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么?\n-15-考点1考点2考点3\n-16-考点1考点2考点3即xk+1<xk+2.所以2≤xk+1<xk+2<3,即当n=k+1时结论成立.根据(1)和(2),可知对任意的正整数n,2≤xn<xn+1<3成立.\n-17-考点1考点2考点3解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.证明的关键是由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.\n-18-考点1考点2考点3证明(1)当n=1时,∴a1>a2.(2)假设当n=k(k∈N+)时,ak+1<ak,又ak+2+ak+1+1<-1+(-1)+1=-1,∴ak+2-ak+1<0,∴ak+2<ak+1,即当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,当n∈N+时,an+1<an.\n-19-考点1考点2考点3例3已知数列{an}的前n项和为Sn,且,且an>0,n∈N*(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.思考解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决?\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3\n-22-考点1考点2考点3解题心得解决“归纳—猜想—证明”问题的一般思路:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.\n-23-考点1考点2考点3对点训练3把一个圆分成n(n≥3)个扇形,设用4种颜色给这些扇形染色,每个扇形恰染一种颜色,并且要求相邻扇形的颜色互不相同,设共有f(n)种方法.(1)写出f(3),f(4)的值;(2)猜想f(n)(n≥3),并用数学归纳法证明.解：(1)f(3)=24,f(4)=84.(2)当n≥4时,第1个扇形a1有4种不同的染法,因为第2个扇形a2的颜色与a1的颜色不同,所以a2有3种不同的染法,类似地,扇形a3,…,an-1均有3种染法.对于扇形an,用与扇形an-1不同的3种颜色染色,但是,这样包括了它与扇形a1颜色相同的情况,而扇形a1与扇形an颜色相同的不同染色方法数就是f(n-1),于是可得f(n)=4×3n-1-f(n-1).\n-24-考点1考点2考点3猜想f(n)=3n+(-1)n·3.证明如下:①当n=3时,左边f(3)=24,右边等于33+(-1)3×3=24,所以等式成立.②假设当n=k(k≥3)时,f(k)=3k+(-1)k·3,则当n=k+1时,f(k+1)=4×3k-f(k)=4×3k-3k-(-1)k·3=3k+1+(-1)k+1·3,即当n=k+1时,等式也成立.由①②知,f(n)=3n+(-1)n·3(n≥3).
