7.3合情推理与演绎推理\n-2-知识梳理双基自测211.合情推理(1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.类比\n-3-知识梳理双基自测21(2)归纳推理与类比推理部分对象全部对象个别事实一般结论某些类似特征某些已知特征部分整体个别一般特殊特殊\n-4-知识梳理双基自测21\n-5-知识梳理双基自测212.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到_________的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.特殊\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()(5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.()××××√\n-7-知识梳理双基自测234152.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,则这个演绎推理出错在()A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错答案解析解析关闭本题中大前提是错误的,因为0的平方不大于0,所以选A.答案解析关闭A\n-8-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P7T1)如图,根据图中的数构成的规律可知a表示的数是()A.12B.48C.60D.144答案解析解析关闭由题干图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.故a=12×12=144.答案解析关闭D\n-9-知识梳理双基自测234154.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2名优秀,2名良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案解析解析关闭由甲的说法知乙、丙一名优秀一名良好.则甲、丁也是一名优秀一名良好;乙看到丙的成绩则知道自己的成绩.又丁看到甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.答案解析关闭D\n-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P7T2)在平面内,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为.1∶8\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确,若要确定其正确性,则需要证明.2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类比,就会犯机械类比的错误.3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,则所得结论也是错误的.4.合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.\n-12-考点1考点2考点3例1(1)如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:原点处标数字0,记为a0;点(1,0)处标数字1,记为a1;点(1,-1)处标数字0,记为a2;点(0,-1)处标数字-1,记为a3;点(-1,-1)处标数字-2,记为a4;点(-1,0)处标数字-1,记为a5;点(-1,1)处标数字0,记为a6;点(0,1)处标数字1,记为a7;……以此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数).记Sn=a1+a2+…+an,则S2018=.-249\n-13-考点1考点2考点3解析:设an对应点的坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点,由对称性可得a1+a2+…+a8=0;第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点,由对称性可得a9+…+a24=0,……第n圈共有8n个点,这8n项的和也为零.前n圈共有8+16+…+8n=4n(n+1)个点,可得前22圈共有2024个数,S2024=0,S2018=S2024-(a2024+a2023+…+a2019),a2024所对应点的坐标为(22,22),a2024=22+22,a2023所对应点的坐标为(21,22),a2023=21+22,a2022=20+22,a2021=19+22,a2020=18+22,a2019=17+22,可得a2024+…+a2019=249,故S2018=0-249=-249.\n-14-考点1考点2考点3(2)有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523……111725………1927…………29……………………………则第30行从左到右第3个数是.思考如何进行归纳推理?1051\n-15-考点1考点2考点3解析:先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60==929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.\n-16-考点1考点2考点3解题心得1.归纳推理的类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.\n-17-考点1考点2考点32.破解归纳推理的思维步骤(1)发现共性,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);(2)归纳推理,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);(3)检验,得结论,对所得的一般性命题进行检验.一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.\n-18-考点1考点2考点31000\n-19-考点1考点2考点3(2)如图所示,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测关于n的等式为.4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)\n-20-考点1考点2考点3\n-21-考点1考点2考点3(2)由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,以4为首项的等差数列,右边是正偶数的平方,故第n个式子为:4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).\n-22-考点1考点2考点3A\n-23-考点1考点2考点3(2)如图①在平面几何中,△ABC的内角C的平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图②),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.思考如何进行类比推理?\n-24-考点1考点2考点3解题心得在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等.\n-25-考点1考点2考点3D\n-26-考点1考点2考点3(2)在平面几何中,“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形的面积为S△ABC=(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体的体积为”.\n-27-考点1考点2考点3\n-28-考点1考点2考点3\n-29-考点1考点2考点3例3一名法官在审理一起盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁分述如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”,乙说:“我没有作案,是丙偷的”,丙说:“在甲和乙中有一个人是罪犯”,丁说:“乙说的是事实”.经调查核实,这四人中只有一人是罪犯,并且得知有两人说的是真话,两人说的是假话,由此可判断罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁思考演绎推理的一般模式是什么?答案解析解析关闭由题意可得乙、丁两人的观点是一致的,则乙、丁两人的供述内容应该是同真或同假.若乙、丁两人说的是真话,则甲、丙两人说的是假话.由乙说的是真话推出丙是罪犯的结论.由甲说的是假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论.显然这两个结论是相互矛盾的,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.故选B.答案解析关闭B\n-30-考点1考点2考点3解题心得1.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.2.在应用三段论推理来证明问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.注意:在证明的过程中,往往大前提是隐含条件.3.三段论证明的基本模式(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断.\n-31-考点1考点2考点3对点训练3甲、乙、丙三名教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A,B,C,已知:①甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;②在哈尔滨工作的教师不教C学科;③在长春工作的教师教A学科;④乙不教B学科.可以判断乙教的学科是.答案解析解析关闭由乙不在长春工作,而在长春工作的教师教A学科,则乙不教A学科;又乙不教B学科,所以乙教C学科.而在哈尔滨工作的教师不教C学科,故乙在沈阳教C学科.答案解析关闭C\n-32-考点1考点2考点31.合情推理与演绎推理的区别(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;(3)演绎推理是由一般到特殊的推理;(4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若前提和推理形式正确,得到的结论一定正确.2.在数学研究中,得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.\n-33-考点1考点2考点31.演绎推理常用来证明和推理数学问题,要注意推理过程的严密性、书写格式的规范性.2.合情推理运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.
