第一篇方法篇·关键能力\n第五讲 不等式、线性规划\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．对于解不等式，主要涉及一元二次不等式、分式不等式、对数和指数不等式，并且以一元二次不等式为主．2．对于线性规划知识的考查主要通过图示的方法获得最优解或已知最优解求参数，此类题型有时需要借助一个实际背景．其中以考查线性目标函数的最值为重点，常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．高考导航\n3．对于基本不等式重在考查对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件的检验，在求最值或不等式恒成立问题中常用基本不等式．\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷1不等式和集合5全国卷乙卷8简单线性规划与概率52020Ⅰ卷2，13解一元二次不等式；线性规划10Ⅱ卷23解绝对值不等式5Ⅲ卷12，13均值不等式；简单线性规划102019Ⅰ卷1，3不等式比较大小10Ⅱ卷6不等式的性质5Ⅲ卷1二次不等式的求解5\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷1不等式的解法和集合5全国卷乙卷5简单线性规划52020Ⅰ卷1，13一元二次不等式的解法；简单线性规划10Ⅱ卷1，15绝对值不等式；简单线性规划10Ⅲ卷13简单线性规划52019Ⅰ卷/Ⅱ卷13简单线性规划5Ⅲ卷1，11不等式解法、简单线性规划10\n自主先热身•真题定乾坤\n(理科)1．(2020·全国卷Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2-4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|-2≤x≤1}，则a＝()A．-4B．-2C．2D．4真题热身B\n\nC\n\n1\n\n\n7\n\n\n\n6．(2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.13015\n\n(文科)1．(2020·全国卷Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2-3x-4<0}，B＝{-4，1，3，5}，则A∩B＝()A．{-4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}D\n【解析】由x2-3x-4<0解得-1<x<4，所以A＝{x|-1<x<4}，又因为B＝{-4，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}，故选D.\n2．(2020·全国卷Ⅱ卷)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝()A．∅B．{-3，-2，2，3)C．{-2，0，2}D．{-2，2}D【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{-2，-1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<-1，x∈Z}，所以A∩B＝{2，-2}．故选D.\nC\n\n\n1\n【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，\n\n8\n【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：\n\n7\n【解析】不等式组所表示的可行域如图\n\n1．不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．2．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.考点一 不等式的性质与解法\n\n\n3．求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．\nBC\n\n2．(2021·上海高三二模)设a、b均为非零实数且a>b，则下列结论中正确的是()A．a-2>b-2B．a-1>b-1C．a2>b2D．a3>b3D\n\n3．(2021·浙江高三二模)若实数a，b，c满足(a-b)(b-c)>0，则()A．a(b-c)>0B．(a-b)(a-c)>0C．a(b-c)<0D．(a-b)(a-c)<0【解析】因实数a，b，c满足(a-b)(b-c)>0⇔(b-a)(b-c)<0，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间，取a＝0，则a(b-c)＝0，即选项A，C都不正确，而(a-b)(a-c)＝(a-b)[(a-b)＋(b-c)]＝(a-b)2＋(a-b)(b-c)>0，即选项D不正确，选项B正确．故选B.B\nB\n\n5．(2021·峨山彝族自治县第一中学高三三模)对于任意实数x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围为()A．{a|a<2}B．{a|a≤2}C．{a|-2<a<2}D．{a|-2<a≤2}D\n(-1，0)∪(1，＋∞)\n(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法．\n1．(多选)(2021·湖南长沙市高三模拟)设实数a、b、c满足b＋c＝6-4a＋3a2，c-b＝4-4a＋a2，则下列不等式成立的是()A．c<bB．b≥1C．b≤aD．a<cBD\n\nAD\n\n(1，2)\n\n考点二 基本不等式\n\nB\n\nCD\n\nA\n\nC\n\n10\n\n(-∞，4]\n\n利用基本不等式求函数最值的3个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．\n\nAC\n\n\n\n\n考点三 线性规划\n\n\nD\n\n\nA\n\nC\n\n\nB\n【解析】不等式组表示的区域如下：\n\n【解析】作出可行域如图阴影部分所示：\n6．(2019·合肥一模)某校准备采用导师制成立培养各学科全优尖子生培优小组A，B，设想培优小组A中，每1名学生需要配备2名理科教师和2名文科教师做导师；设想培优小组B中，每1名学生需要配备3名理科教师和1名文科教师做导师．若学校现有14名理科教师和9名文科教师积极支持，则两培优小组能够成立的学生人数和最多是______.5\n\n求目标函数的最值问题的3步骤(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域．(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离．(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值．\nC\n\nC\n\n-10\n\n明晰易错点•高考零失误\n若不等式ax2＋2ax-1<0的解集为R，则a的取值范围是________________.典例1易错点一：解含参数的不等式时不知道如何对参数分类讨论(-1，0]\n【易错释疑】本题的易错点是忽略对a的讨论，特别是很容易忘掉讨论a＝0，而导致错误；若在二次不等式中二次项系数中含有参数，就要讨论二次项系数等于0和不等于0两种情况．\n典例2易错点二：忽略基本不等式的应用条件致误1\n\n
