第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题七 选修部分第二讲 选修4-5：不等式选讲\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破\n导航立前沿•考点启方向\n主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷23绝对值不等式的恒成立问题10全国卷乙卷23解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法10\n年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10Ⅱ卷23绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题10Ⅲ卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用102019Ⅰ卷23重要不等式、基本不等式、证明10Ⅱ卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10Ⅲ卷23柯西不等式求最值10\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷23绝对值不等式的恒成立问题10全国卷乙卷23解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法10\n年份卷别题号考查角度分值2020Ⅰ卷23分段函数的图象，以及利用图象解不等式10Ⅱ卷23绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题10Ⅲ卷23不等式的基本性质以及基本不等式的应用102019Ⅰ卷23重要不等式、基本不等式、证明10Ⅱ卷23绝对值不等式的解法、分类讨论10Ⅲ卷23柯西不等式求最值10\n自主先热身•真题定乾坤\n1．(2021·全国卷甲卷)已知函数f(x)＝|x-2|，g(x)＝|2x＋3|-|2x-1|.(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．真题热身\n\n\n\n\n2．(2021·全国卷乙卷)已知函数f(x)＝|x-a|＋|x＋3|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)>-a，求a的取值范围．【解析】(1)利用绝对值的几何意义求得不等式的解集．当a＝1时，f(x)＝|x-1|＋|x＋3|，|x-1|＋|x＋3|表示数轴上的点到1和-3的距离之和，则f(x)≥6表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6，故x≤-4或x≥2，所以f(x)≥6的解集为(-∞，-4]∪[2，＋∞)．\n\n3．(2020·全国卷Ⅰ卷)已知函数f(x)＝|3x＋1|-2|x-1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．\n\n\n4．(2020·全国卷Ⅱ卷)已知函数f(x)＝|x-a2|＋|x-2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．\n(2)f(x)＝|x-a2|＋|x-2a＋1|≥|(x-a2)-(x-2a＋1)|＝|-a2＋2a-1|＝(a-1)2(当且仅当2a-1≤x≤a2时取等号)，∴(a-1)2≥4，解得：a≤-1或a≥3，∴a的取值范围为(-∞，-1]∪[3，＋∞)．\n\n\n\n1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜-a；(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔-a＜f(x)＜a；(3)对形如|x-a|＋|x-b|≤c，|x-a|＋|x-b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．考点一 绝对值不等式的解法\n解下列关于x的不等式．(1)|x-x2-2|>x2-3x-4；(2)|x＋1|>|x-3|；(3)|x2-2|x|-2|≤1；典例1\n\n\n\n1．用零点区分法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．\n1．(1)|x-2|-|2x＋5|>2x；(2)|2x-1|<|x|＋1.\n\n\n定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a-c|≤|a-b|＋|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立．考点二 绝对值不等式恒(能)成立问题\n(2021·全国高三模拟)已知函数f(x)＝|2x＋5|＋|2x-1|的最小值为M.(1)求M的值；(2)若M＋|t＋4|>|t-m|＋m对任意的t∈R成立，求实数m的取值范围．典例2\n\n(2)由题得6＋|t＋4|>|t-m|＋m对任意的t∈R成立，所以|t＋4|-|t-m|>m-6对任意的t∈R成立，因为||t＋4|-|t-m||≤|4＋m|，所以-|4＋m|≤|t＋4|-|t-m|≤|4＋m|，所以-|4＋m|>m-6，所以|4＋m|<6-m，所以m-6<m＋4<6-m，所以m<1.所以实数m的取值范围是m<1.\n1．求含绝对值号函数的最值的两种方法(1)利用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求解；(2)将函数化为分段函数，数形结合求解．2．恒成立(存在)问题的等价转化f(x)≥Mf(x)≤M任意x恒成立⇔f(x)min≥Mf(x)max≤M存在x成立⇔f(x)max≥Mf(x)min≤M\n2．(2021·全国高三模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x-2|.(1)求不等式f(x)≥f(x＋1)的解集；(2)对任意的x∈R都有f(x)≥2a＋b(a>0，b>0)，求ab的最大值．\n\n-1≤x≤1时，f(x)-f(x＋1)＝0，f(x)＝f(x＋1)，1<x≤2时，f(x)-f(x＋1)＝2-2x<0，f(x)<f(x＋1)，x>2时，f(x)-f(x＋1)＝-2<0，f(x)<f(x＋1)，综上有：x≤1时，f(x)≥f(x＋1)，x>1时，f(x)<f(x＋1)，所以f(x)≥f(x＋1)的解集为(-∞，1]；\n\n含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.算术-几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．考点三 不等式的证明\n\n典例3\n【解析】证明：(1)∵a2＋b2＝2，要证(a＋b)(a3＋b3)≥4，只需要证明a4＋b4＋ab3＋ba3≥(a2＋b2)2，也就是要证明a4＋b4＋ab3＋ba3-a4-b4-2a2b2≥0，即证ab(a-b)2≥0，∵a，b均为正数，∴ab(a-b)2≥0，∴(a＋b)(a3＋b3)≥4；\n\n证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．(1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法．(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的．\n(3)含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式可通过平方法或换元法等转化为常见不等式证明；另一类利用绝对值三角不等式，通过添项，拆项证明或利用放缩法，分析综合法证明．\n3．(2020·沙坪坝区校级模拟)已知对于任意x≥-1，不等式(1＋x)3≥1＋3x成立．(1)求证：对于任意x≥-1，(1＋x)4≥1＋4x；(2)若a＞0，b＞0，求证：(a＋b)4≥a4＋4a3b.【解析】证明：(1)∵x≥-1，∴x＋1≥0.又对于任意x≥-1，不等式(1＋x)3≥1＋3x成立，∴(1＋x)4＝(1＋x)3(1＋x)≥(1＋3x)(1＋x)＝1＋4x＋3x2≥1＋4x，即(1＋x)4≥1＋4x；\n
