第2讲 不等式及线性规划一、选择题1.(2022·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x－2|＜1得1＜x＜3，由x2＋x－2＞0，得x＜－2或x＞1，而1＜x＜3x＜－2或x＞1，而x＜－2或x＞11＜x＜3，所以，“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分而不必要条件，选A.答案 A2.(2022·临汾模拟)若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是( )A.3B.4C.7D.12解析 因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n∈R＋，且＋＝1，所以·≤()2，所以·≤＝，即mn≤3，所以mn的最大值为3.答案 A3.(2022·广东卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )A.B.6C.D.4解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，由z＝3x＋2y得y＝－x＋，依题意当目标函数直线l：y＝－x＋经过A时，z取得最小值，即zmin＝3×1＋2×＝，故选C.5\n答案 C4.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4解析 ∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号).又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，＝2.∴λ的最小值为2.答案 B5.(2022·衡水中学期末)已知约束条件表示的平面区域为D，若区域D内至少有一个点在函数y＝ex的图象上，那么实数a的取值范围为( )A.[e，4)B.[e，＋∞)C.[1，3)D.[2，＋∞)解析 如图：点(1，e)满足ax－y≥0，即a≥e.答案 B二、填空题6.(2022·福建卷改编)若变量x，y满足约束条件则z＝2x－y的最小值等于________.解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z＝2x－y可化为y＝2x－z，由图形可知当y＝2x－z过点时z最小，zmin5\n＝2×(－1)－＝－.答案 －7.(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.解析 f(f(－3))＝f(1)＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号；当x＜1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为2－3.答案 0 2－38.(2022·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.解析 由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6或t≤－18(舍)，即x＋3y≥6.答案 6三、解答题9.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.解 (1)f(x)＞kkx2－2x＋6k＜0.由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号.由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.10.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.5\n(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.11.已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.(1)证明：a＞0；(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围.(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0.(2)解 在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于即化简得5\n此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).z在这三点的值依次为，6，8.所以z的取值范围为.5
