第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题三第一讲 空间几何体、三视图、表面积与体积\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问．2．空间几何体的侧面展开图、截面及简单的组合体问题．3．在一些基础题目中，经常与传统文化结合考查．4．经常在客观题的后几题中考查与球有关的切、接问题．高考导航\n高频考点(理科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷6，11简单几何体的三视图；锥体的外接球和锥体的体积10全国卷乙卷16三棱锥的三视图52020Ⅰ卷3，10与棱锥有关的计算；体积、点到直线的距离、线面角、直线到平面的距离10Ⅱ卷7三视图5Ⅲ卷8由三视图求几何体的表面积5\n年份卷别题号考查角度分值2019Ⅰ卷12垂直、外接球、体积5Ⅱ卷18空间几何体的结构特征、直观图、数学文化12Ⅲ卷8、16空间两直线的位置关系的判定；简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积17\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷7，14简单几何体的三视图，圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式10全国卷乙卷16三棱锥的三视图52020Ⅰ卷3，12与棱锥有关的计算；求球的表面积10Ⅱ卷11，20(2)求点到面的距离时涉及球的表面积；求四棱锥的体积11Ⅲ卷9由三视图求几何体的表面积52019Ⅰ卷16点到平面的距离5Ⅱ卷16多面体的棱长与面的个数5Ⅲ卷16多面体的体积5\n自主先热身•真题定乾坤\n(理科)1．(2021·全国卷甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()真题热身D\n\nA\n\n3．(2020·全国卷Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32πA\n\n4．(2020·全国卷Ⅱ卷)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A．EB．FC．GD．HA\n\nC\n【解析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，\n\n6．(2020·全国卷Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.\n\n7．(2021·全国卷乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______________(写出符合要求的一组答案即可)．②⑤或③④\n【解析】观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的实线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④.故答案为②⑤或③④.\n(文科)1．(2021·全国卷甲卷)在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()D\n【解析】由题意，作出正方体，截去三棱锥A-EFG，根据正视图，可得A-EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选D.\nB\n\nD\n【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，\n\n4．(2021·全国卷甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.39π\n5．(2021·全国卷乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______________(写出符合要求的一组答案即可)．②⑤或③④\n【解析】观察正视图，推出三棱锥的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④.故答案为②⑤或③④.\n6．(2020·全国卷Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为__________.26\n\n7．(2020·全国卷Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g.118.8\n\n1．该部分在高考中一般会以“两小”或“一小”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积．2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n考点一 空间几何体的三视图与直观图\n1．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A\n【解析】两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A．故选A．\n2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()C\n【解析】过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.\nD\n\nA\n\n\n\nB\n\n6．(2021·山东模拟)如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______cm.8\n\n(1)根据空间几何体的三视图还原空间几何体时，要善于把空间几何体放置在长方体、正方体中，既容易得出空间几何体的实际形状，又容易进行计算．(2)根据空间几何体得出其三视图时，要抓住其顶点在投影面上的正投影，并注意几何体的轮廓线“眼见为实、不见为虚”，在数量关系上注意“高平齐、长对正、宽相等”的原则．\nD\n\n2．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为__________.\n考点二 空间几何体的表面积与体积\n\nA\n\n2．(2021·浙江台州市路桥中学高三模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．2B．4C．6D．12A\n\nC\n\n4．(2021·全国高三模拟)香水是香料溶于乙醇中的制品，早在公元前1500年，埃及艳后克娄巴特拉七世就已经开始用15种不同气味的香水洗澡了．近年来，香水已经逐渐成为众多女士的日常用品．已知“香奈儿”的一款饱受热评的男士香水的包装瓶如图(1)所示，其三视图如图(2)所示，其中图(2)中方格小正方形的边长为1，则该香水瓶的体积为()A．π＋120B．2π＋120C．π＋110D．2π＋110D\n【解析】由三视图可得包装瓶的直观图如图所示：故其体积为：5×(24-2)＋π×12×2＝110＋2π，故选D.\nB\n\nA\n\n求几何体表面积和体积关键过好“两关”(1)还原关，即利用“长对正、宽相等、高平齐”还原空间几何体的直观图，不规则几何体采取分割和补形的方法．(2)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积．\nD\n\n4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324B\n\n5．某几何体的三视图如图所示(在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为()A．48B．54C．60D．64C\n\n6．(2021·安徽池州市·池州一中高三模拟)古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥．已知圆锥SO的底面圆O的半径为3，其母线长为5.若圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，则圆锥S′O′的侧面积为()A．15πB．60πC．96πD．120πB\n\n\n1．多面体与球的切接问题处理方法与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．考点三 多面体与球\n2．重要结论(1)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．(2)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．(3)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．\n典例B\n\nD\n\n\n\n“切”“接”问题的处理方法(1)“切”的处理：解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时要先找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则通过多面体过球心的对角面来作截面．(2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．\nB\n【解析】依题意画出轴截面，\n\nC\n\n明晰易错点•高考零失误\n给出下列四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．②③典例1易错点一：对几何概念理解不透致误\n【错解】错解一：①②③；错解二：②③④【易错释疑】①是错误的，因为底面可能是菱形；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直．\n已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是______.典例2易错点二：三视图识别不准确\n【易错释疑】没有正确理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．\n\n典例3易错点三：在求球的表面积或体积时相互关系理不清D\n【易错释疑】上述解法审题有误，一个球的体积扩大了8倍，相当于扩大后球的体积是原来球的体积的9倍，关于表面积扩大了几倍的问题，上述解法也是错误．\n
