第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题六 函数与导数第三讲 导数的简单应用\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．高考导航\n高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷/5全国卷乙卷12利用导数研究极值问题2020Ⅰ卷15导数的几何意义5Ⅱ卷/Ⅲ卷15导数的运算52019Ⅰ卷13导数的几何意义以及运算法则5Ⅱ卷10导数的几何意义以及运算法则5Ⅲ卷7导数的几何意义5\n自主先热身•真题定乾坤\n1．(2019·全国卷Ⅱ卷)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，-1)处的切线方程为()A．x-y-π-1＝0B．2x-y-2π-1＝0C．2x＋y-2π＋1＝0D．x＋y-π＋1＝0真题热身C\n\n2．(2019·全国卷Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝-1B．a＝e，b＝1C．a＝e-1，b＝1D．a＝e-1，b＝-1D\n3．(2021·全国卷乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x-a)2(x-b)的极大值点，则()A．a<bB．a>bC．ab<a2D．ab>a2D\n【解析】令f(x)＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f(x)的两个零点，当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则0<a<b；\n当a<0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f(x)的极大值点，则函数f(x)的大致图象如下图所示，则b<a<0；综上，ab>a2.故选D.\n4．(2020·全国卷Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________.y＝2x\n1\n6．(2019·全国卷Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________________.【解析】y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以，k＝y′|x＝0＝3，所以，曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为y＝3x，即3x-y＝0.3x-y＝0\n7．(2021·全国新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x-1|-2lnx的最小值为_____.1\n\n1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y-f(x0)＝f′(x0)(x-x0)．考点一 导数的计算和几何意义\n2．基本初等函数的导数公式\n\n\n(1)(2021·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2016)＋f(-2016)＋f′(2016)-f′(-2016)＝()A．0B．2015C．8D．2016C典例1\n【解析】(1)∵f(x)＝asinx＋bx3＋4，∴f′(x)＝acosx＋3bx2，∴f(x)＋f(-x)＝8，f′(x)-f′(-x)＝0，∴f(2016)＋f(-2016)＋f′(2016)-f′(-2016)＝8.故选C.\nB\n\nC\n\n\n3\n求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．\n1．(2021·江西九江市·高三三模)曲线f(x)＝xcosx在点(0，f(0))处的切线方程为__________.【解析】由题设知：f′(x)＝cosx-xsinx，∴f′(0)＝cos0-0×sin0＝1，而f(0)＝0cos0＝0，∴f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为：y＝x.故答案为y＝x.y＝x\n2．(2021·内江模拟)已知f(x)＝x·(a＋lnx)，f′(e)＝1，则a＝________.【解析】f′(x)＝x′(a＋lnx)＋x(a＋lnx)′＝a＋lnx＋1，又∵f′(e)＝1，∴a＋lne＋1＝1，解得：a＝-1.故答案为-1.-1\n导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(-∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．考点二 利用导数研究函数的单调性\n角度1讨论函数的单调性(2021·武清区校级模拟)已知函数f(x)＝lnx-ax2＋(2-a)x，a∈R.(1)已知x＝1为f(x)的极值点，求曲线y＝f(x)在点((1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数g(x)＝f(x)＋ax的单调性．典例2\n\n所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(1)＝ln1-1＋(2-1)＝0，k＝f′(1)＝1-2＋2-1＝0，所以过点(1，0)的切线的方程为y＝0.\n\n\n\n\n求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．\n(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．\n典例3A\n\n\n\n已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．\nA\n\n\n[e-1，＋∞)\n\n\n可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．考点三 利用导数研究函数的极值与最值\n典例4\n\n\n\n设p(x)＝-2x2＋4x-4，对称轴为x＝1，x＝1时，p(x)max＝-2<0，所以h(x)min＝4ln4-4-2(ln4)2<0，当x→0时，h(x)<0，当x→＋∞时，h(x)>0，所以在(0，ln4)，函数h(x)没有零点，∃x0∈(ln4，＋∞)，使得h(x)＝0，即∃x0∈(ln4，＋∞)，使得f′(x)＝0，且x0是唯一的，所以f(x)在(0，＋∞)上的极值点的个数为1.\n(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当Δ>0时，应通过求根公式求出其根．(2)涉及含参数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值．\n5．已知函数f(x)＝lnx＋ax-a2x2(a≥0)．(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．\n\n\n\n明晰易错点•高考零失误\n求过曲线y＝x3-2x上的点(1，-1)的切线方程．【错解】因为y′＝3x2-2，所以k＝y′|x＝1＝3×12-2＝1.所以切线方程为：y＋1＝x-1即x-y-2＝0.【易错释疑】错把(1，-1)当切点．典例1易错点一：混淆“切点”致误\n\n\n已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝____________.【错解】-7或0【易错释疑】x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0不能得到x＝1是f(x)的极值点”的情况．-7或0典例2易错点二：极值的概念不清楚致误\n\n当a＝-3，b＝3时，f′(x)＝3(x-1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝-3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝-11，∴a＋b＝-7.\n函数f(x)＝ax3-x2＋x-5在R上的增函数，则a的取值范围为__________.典例3易错点三：导数与单调性关系理解不准致误\n
