11.2古典概型、条件概率与全概率公式第十一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.结合具体实例,理解古典概型,能计算古典概型中简单随机事件的概率.2.结合古典概型,了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.3.结合古典概型,了解条件概率与独立性的关系.4.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率.5.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.*了解贝叶斯公式.\n备考指导古典概型、条件概率与全概率公式是高考的重点内容,高考中一般在选择题、填空题中考查,难度中等.值得注意的是:条件概率在高考出现的频率提高,增加了全概率公式,整体要求提高了.鉴于新高考对于数学文化的加强,因此本节知识的复习,要多结合实际情境进行,尤其是对于条件概率与全概率公式的理解,更要总结出模型的特点.本节常用的方法有公式法、列举法、图表法;素养方面要加强数学建模、数学运算、直观想象的培养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.古典概型具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.2.古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.\n3.条件概率及其性质概率的乘法公式:由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).\n问题思考条件概率中,P(B|A)与P(A|B)的意义一样吗?不一样,P(B|A)是在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;P(A|B)是在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个结果是等可能的.()(2)从市场上出售的标准为(500±5)g的袋装食盐中任取一袋测其质量,属于古典概型.()(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B同时发生的概率.()(4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).()××√√\n2.已知袋中装有除颜色外完全相同的6个白球,5个黄球,4个红球,从中任取一球,则取到白球的概率为()A\n3.(多选)为吸引顾客,某商场举办购物抽奖活动.抽奖规则是:从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外,完全相同)的抽奖箱中,不放回地依次摸取两次,每次摸出1个球,记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同,则为中奖,否则为不中奖,下列随机事件的概率正确的是()ABD\n\n4.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()5.已知P(B|A)=0.3,P(A)=0.5,P(B)=0.8,则P(A|B)=.C\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1古典概型例1(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取2次,每次随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()D从5张卡片中有放回地抽取2次,每次随机抽取1张的所有可能结果有25种,用树状图表示如图.第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的可能结果有10种,故所求概率\n(2)整数集就像一片浩瀚无边的海洋,充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质:220的所有真因数之和恰好等于284,同时284的所有真因数之和也等于220,我们把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”.“亲和数”的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284,1184和1210,2620和2924是3对“亲和数”,把这六个数分别写在完全相同的六张卡片上,从中一次性任意抽取两张卡片,则抽到的两张卡片上的数恰好是一对“亲和数”的概率为()A\n解题心得求古典概型概率的关键是求试验的样本空间包含的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数;求解时,可以用列举法、列表法、树状图法求解,也可以利用两个计数原理、排列与组合的知识求解.\n对点训练1(1)甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为()A由已知得试验的样本空间Ω={(A,A),(A,B),(A,C),(B,A),(B,B),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C)},共9个等可能的样本点,设事件A=“两人参加同一个小组”,则A={(A,A),(B,B),(C,C)},共3个等可能的样本点,所以两人参加同一个小组的概率为\n(2)甲从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数a,乙从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数b,则a>b的概率为.\n能力形成点2条件概率例2(1)小红的妈妈为小红煮了7个汤圆,其中3个黑芝麻馅,4个五仁馅,小红随机吃掉2个,设事件A=“吃掉的2个是同一种馅”,B=“吃掉的2个都是黑芝麻馅”,则P(B|A)=()B\n(2)已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件产品为一级品的概率为()A.0.75B.0.96C.0.72D.0.78C记“任选一件产品为合格品”为事件A,记“任选一件产品为一级品”为事件B.由于一级品必是合格品,故事件A包含事件B,因此P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品知P(B|A)=0.75.故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=0.96×0.75=0.72.\n\n对点训练2(1)在100件产品中有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件,则在第一次取到不合格品的情况下,第二次取到不合格品的概率为.\n(2)王先生每天早上坐公交车上班,他第一天5分钟内坐上公交车的概率为0.6,当第一天5分钟内坐上公交车时,第二天也5分钟内坐上公交车的概率为0.3,试求王先生两天都5分钟内坐上公交车的概率.解设Ai表示“第i天5分钟内坐上公交车”,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.6,P(A2|A1)=0.3.所以P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.6×0.3=0.18.所以王先生两天都5分钟内坐上公交车的概率为0.18.\n能力形成点3全概率公式的应用例3假设某工厂生产的甲、乙、丙三种产品所占的百分率及其优质率的信息如下表所示:从该工厂生产的产品中任取一件,求取到的产品是优质品的概率.\n解设事件A1=“取到的产品是甲产品”,A2=“取到的产品是乙产品”,A3=“取到的产品是丙产品”,B=“取到的产品是优质品”,则由已知得P(A1)=0.6,P(A2)=0.2,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.85,P(B|A3)=0.8.故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.6×0.9+0.2×0.85+0.2×0.8=0.87.\n解题心得全概率公式为复杂事件的概率计算提供了一条有效途径,是概率论中一个有效的分析工具,其重要意义在于:对于一个复杂的事件,若无法直接求出它的概率,则可以“化整为零”,通过选择样本空间的划分将该复杂事件分解为若干个简单事件来进行处理,从而使分析问题的思路变得清晰条理,化繁为简,化难为易.\n对点训练3现有编号为Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三个口袋,其中Ⅰ号袋内装有两个1号球,一个2号球与一个3号球;Ⅱ号袋内装有两个1号球与一个3号球;Ⅲ号袋内装有三个1号球与两个2号球.第一次从Ⅰ号袋内随机摸出一个球,放入与球上号数相同的口袋中,第二次从放入球的口袋中随机摸出一个球,则第二次摸到几号球的概率最大,为什么?\n解记事件Ai,Bi分别表示第一、二次摸到i号球,i=1,2,3,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.\n第三环节 学科素养提升\n条件概率性质的实际应用典例在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,考生至少答对其中的4道题即可通过;至少答对其中的5道题就获得优秀.已知某考生能答对20道题中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题,另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题,另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.由互斥事件的概率加法公式及古典概型计算概率的公式可知\n\n解题心得利用条件概率的性质求概率若事件B,C互斥,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即为了求得比较复杂事件的条件概率,往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件,求出这些简单事件的条件概率,再利用互斥事件的概率加法公式即得所求复杂事件的条件概率.
