11.2古典概型\n-2-知识梳理双基自测23141.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.互斥基本事件\n-3-知识梳理双基自测23142.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性.只有有限个相等\n-4-知识梳理双基自测23143.古典概型的概率公式\n-5-知识梳理双基自测23144.常用结论(1)任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.(2)求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有:列举法、列表法和树状图法.\n2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(3)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为.()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.()×√×√√\n-7-知识梳理双基自测234152.甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲、丙之间的概率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-8-知识梳理双基自测234153.有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫,从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-9-知识梳理双基自测234154.(2020全国Ⅰ,文4)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为()A解析:由题意知一共有10种取法,当选A,O,C和B,O,C时符合要求,\n-10-知识梳理双基自测234155.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,则其个位数为1的概率为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415自测点评1.在一次试验中,其基本事件的发生不一定是等可能的,如一粒种子是否发芽,其发芽和不发芽的可能性是不相等的.2.古典概型中基本事件的探求方法:(1)列举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的.(2)列表法或树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的.\n-12-考点1考点2考点3例1(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()(2)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()思考求古典概型的概率的一般思路是怎样的?DC\n-13-考点1考点2考点3解析:(1)由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示(表中点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数):总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为\n-14-考点1考点2考点3(2)(方法一)若认为两个花坛有区别,则总的基本事件是:红黄,白紫;白紫,红黄;红白,黄紫;黄紫,红白;红紫,黄白;黄白,红紫,共6种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;白紫,红黄;红白,黄紫;黄紫,红白,共4种.故所求事件的概率为(方法二)若认为两个花坛没有区别,总的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共3种.满足条件的基本事件是:红黄,白紫;红白,黄紫,共2种.故所求事件的概率为.解题心得求古典概型的概率的思路:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式.\n-15-考点1考点2考点3对点训练1(1)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-16-考点1考点2考点3(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-17-考点1考点2考点3(3)某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3考向一古典概型与平面向量的交汇例2连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈的概率是()思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与概率的基本事件有关的问题?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-19-考点1考点2考点3考向二古典概型与解析几何的交汇例3将一枚骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为.思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-20-考点1考点2考点3考向三古典概型与函数的交汇例4设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1.(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?\n-21-考点1考点2考点3(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故所求的概率为.\n-22-考点1考点2考点3解题心得1.由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,再由夹角的范围就能得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的基本事件个数,从而转化成与概率的基本事件有关的问题.2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a≤b,则满足a≤b的基本事件的个数就能求出来,从而转化成与概率的基本事件有关的问题.3.f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图象的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难得出b≤a包含的基本事件个数.\n-23-考点1考点2考点3对点训练2(1)从集合{2,3,4}中随机抽取两个数x,y,则满足logxy≤的概率是()(2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x∈{-1,1,3},y∈{1,3,9},则a∥b的概率为;a⊥b的概率为.(3)将一颗质地均匀的骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使直线l1:x+ay=3,l2:bx+6y=3平行的概率为p1,不平行的概率为p2.若点(p1,p2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是.(4)设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b,且ab≠0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线的概率为.\n-24-考点1考点2考点3∵从集合{2,3,4}中随机抽取两个数x,y,∴所有的数对(x,y)共有3×2=6(个).(2)由题意,得(x,y)所有的基本事件为(-1,1),(-1,3),(-1,9),(1,1),(1,3),(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共9个.设“a∥b”为事件A,则xy=-3.事件A包含的基本事件有(-1,3),设“a⊥b”为事件B,则y=3x.事件B包含的基本事件有(1,3),(3,9),故a⊥b的概率为P(B)=.\n-25-考点1考点2考点3\n-26-考点1考点2考点3(4)A={x|-2<x<5,x∈Z}={-1,0,1,2,3,4},由条件知,(a,b)的所有可能取法有(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-1,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3),共20种,\n-27-考点1考点2考点3例5全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.\n-28-考点1考点2考点3(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.思考如何求解概率与统计相综合的题目?\n-29-考点1考点2考点3解法一(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.\n-30-考点1考点2考点3解法二(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10个.其中,没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{B1,B2},共1个.(2)同解法一.解题心得有关古典概型与统计综合的题型,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,此类问题即可解决.\n-31-考点1考点2考点3对点训练3从某工厂抽取50名工人进行调查,发现他们一天加工零件的个数在50至350个之间.按生产的零件的个数将他们分成六组,第一组:[50,100),第二组:[100,150),第三组:[150,200),第四组:[200,250),第五组:[250,300),第六组:[300,350],相应的样本频率分布直方图如图所示:(1)求频率分布直方图中的x的值;(2)设位于第六组的工人为拔尖工,位于第五组的工人为熟练工,现用分层抽样的办法在这两类工人中抽取一个容量为6的样本,从样本中任意取2人,求至少有一人是拔尖工的概率.\n-32-考点1考点2考点3解:(1)根据题意,(0.0024+0.0036+x+0.0044+0.0024+0.0012)×50=1,解得x=0.0060.(2)由题知拔尖工共有3人,熟练工共有6人.抽取容量为6的样本,则其中拔尖工有2人,熟练工有4人.可设拔尖工为A1,A2,熟练工为B1,B2,B3,B4.则从样本中任抽2人的可能有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4,共15种,至少有一人是拔尖工的可能有A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,共9种.\n-33-考点1考点2考点31.古典概型的注意事项:第一,试验中每个基本事件必须是等可能的;第二,试验的基本事件总共有多少个;第三,所求的事件是什么,它包含的基本事件有多少个.2.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算.3.解决与古典概型交汇命题的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.\n-34-考点1考点2考点3古典概型的条件是事件发生的等可能性,一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时,它们是不是等可能的.
