第一章集合、常用逻辑用语、不等式\n第二讲 充分条件与必要条件\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 充分条件、必要条件与充要条件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要\n\n2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．\n题组一 走出误区1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.()(3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．()√√√\n(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要条件．()×\n题组二 走进教材2．(必修1P22练习T1改编)“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的_____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)3．(必修1P22习题T2改编)x2－3x＋2≠0是x≠1的_____________条件．[解析]x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．4．(必修1P23T5改编)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是_________.充分不必要充分不必要m＝－2\n题组三 走向高考5．(2020·天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由a2>a，得a2－a>0，解得a>1或a<0，∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．A\n6．(2021·浙江，3，4分)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件B\n[解析]利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c＝b·c，则a＝b”与“若a＝b，则a·c＝b·c”的真假性即可．若c与向量a，b都垂直，则由a·c＝b·c不一定能得到a＝b；若a＝b，则由平面向量的数量积的定义知a·c＝b·c成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B．\n考点突破·互动探究\n方法1：定义法判断(2021·北京，3，4分)设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件例1A考点一充分条件与必要条件的判断——师生共研\n[解析]若f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)；若f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，则f(x)未必在[0，1]上单调递增，如图．故选A．\n例2B\n\n方法3等价转化法判断(1)给定两个条件p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A例3\nA\n\n\n\n〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；③在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.\nA\n[解析](1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但qp，故p是q的充分不必要条件．③在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．\n\n(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是___________.(2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是___________.例4考点二充分、必要条件的应用——师生共研[0，3][0，3]\n\n\n本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．\n〔变式训练2〕(1)已知P：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为____.(2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．1\n[答案](2)[4，＋∞)\n已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．例3考点三充要条件的探求——师生共研\n\n\n探究充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．\n〔变式训练3〕(1)命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥4B．a>4C．a≥1D．a>1(2)(2022·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________.Bac<0\n\n名师讲坛·素养提升\n抽象命题间充要条件的判定已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④¬p是¬s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是()A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤[分析]本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．例6B\n命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．\n〔变式训练4〕若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的_____________条件．必要不充分
