第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·福建)下列命题中，真命题是( )．A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件解析 因为∀x∈R，ex>0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除C.应选D.答案 D2．(2022·江北区模拟)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )．A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B.答案 B3．(2022·重庆)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )．A．既不充分也不必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．充要条件解析 ∵x∈[0,1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3,4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3,4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1,0]时，f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0,1]时，f(x)是增函数，必要性亦成立．答案 D6\n4．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )．A．0<a≤1B．a<1C．a≤1D．0<a≤1或a<0解析 法一 (直接法)当a＝0时，x＝－符合题意．当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，则⇔⇔a<0；若方程两根均负，则⇔⇔0<a≤1.综上所述，所求充要条件是a≤1.法二 (排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·盐城调研)“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析 x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤.答案 充分不必要6．(2022·扬州模拟)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x>2”是“<”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案 ①②三、解答题(共25分)7．(12分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0；(2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．6\n解 (1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．(2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．8．(13分)已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解 p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇒/p，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有且两个等号不同时成立，解得a≥9.因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．6\nB级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·皖南八校模拟)“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )． A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析 由两直线垂直的充要条件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或，∴m＝时，两直线垂直，反过来不成立．答案 B2．(2022·沙坪坝二模)下列说法中正确的是( )．A．命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题B．若函数f(x)＝ln的图象关于原点对称，则a＝3C．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝成立D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件解析 A中命题的逆命题是“若a<b，则am2<bm2”是假命题，因为m＝0时，上述命题就不正确，故A错误；B选项，若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数，则f(0)＝ln(a＋2)＝0，解得a＝－1，故B错误；C选项，sinx＋cosx＝sin∈[－，]，且∈[－，]，因此C是真命题．选项D，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件．故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2022·长沙模拟)若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．解析 方程x2－mx＋2m＝0对应的二次函数f(x)＝x2－mx＋2m，∵方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f(3)<0，解得m>9，即：方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m>9.答案 m>94．已知集合A＝，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B6\n成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析 A＝＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案 (2，＋∞)三、解答题(共25分)5．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明 充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.6．(13分)已知全集U＝R，非空集合A＝，B＝.(1)当a＝时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝时，A＝＝，B＝＝，∴∁UB＝.∴(∁UB)∩A＝.(2)∵a2＋2>a，∴B＝{x|a<x<a2＋2}．6\n①当3a＋1>2，即a>时，A＝{x|2<x<3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴，即<a≤.②当3a＋1＝2，即a＝时，A＝∅，不符合题意；③当3a＋1<2，即a<时，A＝{x|3a＋1<x<2}，由A⊆B得，∴－≤a<.综上所述，实数a的取值范围是∪.6
