第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第九讲 函数模型及其应用\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点 函数模型及其应用1．几类常见的函数模型\n函数模型函数解析式二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)\n2．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调_______单调_______单调递增增长速度越来越_____越来越_____相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增快慢y轴x轴\n3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；\n(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：\n\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()(3)幂函数增长比直线增长更快．()××××\n\n题组二 走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()\nA．收入最高值与收入最低值的比是3︰1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元[答案]D\nD\n[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D．\n4．(必修1P161T8改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到()A．200只B．300只C．400只D．500只[解析]∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A．A\nC\n\n考点突破·互动探究\n考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透(1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．例1考点函数模型及应用\n根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A\n(2)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()B\n[解析](1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确．从图观察C是正确的，D也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A．(2)v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B．\n1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．\n2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．\n考向3构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1一次函数、二次函数分段函数模型共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，例2\n\n\n\n(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．\n角度2指数函数与对数函数模型(2021·安徽五校联考)石榴自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，安徽怀远的石榴今年又喜获丰收．怀远一中数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元的利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是(参考数据：1.015100≈4.432)()例3D\n\n指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．\nA\n402\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例4\n(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？\n\n\n\n〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为_______________时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是__________.40m，20m648m2\n
