第13讲 函数模型及其应用 1.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60(℃)，t＝0表示中午12：00，其后t取值为正，则该物体下午3点时的温度为( )A.8℃B.78℃C.112℃D.18℃ 2.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部额满．若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出，这样，为了减少投入多获利，每床每天收费应提高( )A．2元B．4元C．6元D．8元 3.(2022·山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件 4.(2022·北京卷)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为( )A．5B．7C．9D．11 5.1海里约合1852m，根据这一关系，米数y关于海里x的函数解析式为____________． 6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 7.经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－·|t－10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．3\n 8.如图所示是某池塘中浮萍的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝f(t)＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是__________．(填写你认为的所有正确叙述的序号) 9.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒的驾驶员，至少经过______小时才能开车？(精确到1小时)10.(2022·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．3\n第13讲1．B 2.C 3.C 4.C 5.y＝1852x(x≥0) 6.207．解析：(1)y＝g(t)·f(t)＝(80－2t)·(20－|t－10|)＝(40－t)(40－|t－10|)＝.(2)当0≤t<10时，y的取值范围是[1200，1225]．在t＝5时，y取得最大值为1225；当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，在t＝20时，y取得最小值为600.答：第5天，日销售额y取得最大值为1225元，第20天，y取得最小值600元．8．①②⑤ 解析：将点(1，2)代入解析式y＝f(t)＝at可得①正确；第5个月时，浮萍面积为25＝32>30，故②正确；由解析式知t＝log2y，浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过的时间为log212－log24＝log23≠1.5，故③不正确；浮萍1月到2月增加的面积为2m2，2月到3月增加的面积为4m2，两者不相等，故④不正确；对于⑤，t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，故⑤正确．9．5 解析：设过x(x∈N*)小时才能开车，此时血液中酒精含量为ymg/mL，则y＝[0.3(1－25%)x]mg/mL.由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，即0.3×()x≤0.09，()x≤，则x≥5，故至少经过5小时才能开车．10．解析：(1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)中，令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0.所以x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程是10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0得a≤6.此时，k＝＞0(不考虑另一根)．所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．3
