[A级 基础练]1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100解析：选C．根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )解析：选D．依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．3．“酒驾猛于虎”，所以交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.假设某人喝了少量酒，血液中酒精含量迅速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．( )A．1B．2C．3D．4解析：选B．设n个小时后才可以驾驶机动车，则0.8×(1－50%)n＝0.2.解得n＝log0.50.25＝2.即至少要经过2个小时后才可以驾驶机动车．故选B．4．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：
购票人数1～5051～100100以上门票价格13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为( )A．20B．30C．35D．40解析：选B．设两个旅游团队的人数分别为a，b，且a，b∈N*，不妨令a≥b.因为1290不能被13整除，所以a＋b≥51.若51≤a＋b≤100，则11(a＋b)＝990，得a＋b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a＋13b＝1290，②联立①②解得b＝150，a＝－60，不符合题意；若a＋b>100，则9(a＋b)＝990，得a＋b＝110，③由共需支付门票费为1290元可知，1≤b≤50，51≤a≤100，得11a＋13b＝1290，④联立③④解得a＝70，b＝40.所以这两个旅游团队的人数之差为70－40＝30.故选B．5．射线测厚技术原理公式为I＝I0e－ρμt，其中I0，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)( )A．0.110B．0.112C．0.114D．0.116解析：选C．由射线测厚技术原理公式得＝I0e－7.6×0.8μ，所以＝e－6.08μ，－ln2＝－6.08μ，μ≈0.114，故选C．
6．某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：37．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________h．(车身长度不计) 解析：设全部物资到达灾区所需时间为th，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了km所用的时间，因此，t＝＝＋≥2＝12，当且仅当＝，即v＝时取等号．故这些汽车以km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12h.答案：128．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系为y＝(如图所示)实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．
(1)k＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．解析：(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，所以＝1，所以k＝2.(2)由(1)可知：y＝当t≥时，y＝，令y<0.75，得t>，所以在消毒后至少经过小时，即40分钟人方可进入房间．答案：(1)2 (2)409．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．(1)当0<x≤20时，求v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2；当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，a≠0，显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得解得所以v＝－x＋，故函数v＝(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．[B级 综合练]10．(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)( )A．60B．63C．66D．69解析：选C．由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋e
，e＝，e＝19，所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，所以t*≈66.故选C．11．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了( )A．10%B．30%C．50%D．100%解析：选A．将信噪比从1000提升至2000，C大约增加了＝≈≈10%，故选A．12．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．解：(1)y＝f(x)的定义域是[10，1000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2]．(2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lgx－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.由≤0.2可知y－0.2x≤0.令g(x)＝4lgx－3－0.2x，x∈[10，1000]，则g′(x)＝<0，所以g(x)在[10，1000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.故函数y＝4lgx－3符合公司的要求．[C级 提升练]13．某旅游景点预计2021年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝x·(x＋1)·(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝(1)写出2021年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；(2)试问2021年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？解：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，经验证x＝1时也满足此式．所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N*)个月的旅游消费总额为g(x)＝①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x＋1400，令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x≤5时，g′(x)≥0，当5<x≤6时，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(5)＝3125；②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6400是减函数，所以g(x)max＝g(7)＝3040.综上，2021年5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元．
