第五章平面向量与复数\n第三讲 平面向量的数量积\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n∠AOB[0，π]\n知识点二 平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．|a||b|cosθ\nx1x2＋y1y2\nx1x2＋y1y2＝0\n\n×√×\n(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()×××\n题组二 走进教材2．(必修2P36练习T2改编)向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．6B．5C．1D．－6[解析]由题意知2a＋b＝(3,0)，∴(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6，故选A．A\nC\n1\n题组三 走向高考5．(2021·全国甲，13,5分)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝_____.\n6．(2021·全国乙，14,5分)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝____.\n\nB\n\n\n考点突破·互动探究\n例1C考点一平面向量数量积的运算——师生共研－25\n\n\n\n\n\n向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示要求数量积的向量求解．(4)坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．MINGSHIDIANBO\nD\nA\n\n\n例2C考点二向量的模、夹角——多维探究\n2\n\nMINGSHIDIANBO\nB例3\nD\n\n\nMINGSHIDIANBO\n角度3平面向量的垂直(1)(2020·全国Ⅲ，5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是()A．a＋2bB．2a＋bC．a－2bD．2a－bD例4\nA\n\n\n平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．MINGSHIDIANBO\nB\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例5B\n\n\n\n\n平面向量中有关最值(或取值范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．MINGSHIDIANBO\nA\n
