【高考领航】2022高考数学总复习4-3平面向量的数量积练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考湖南卷)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.解析：解法一：∵＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝2＋＋，又由AP⊥BD得⊥且⊥，∴·＝0且·＝0，于是·＝·(2＋＋)＝22＝2||2＝18.答案：182．(2022·高考安徽卷)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.解析：a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，∴3m＋3＋3m＝0，∴m＝－，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝＝.答案：3．(2022·高考辽宁卷)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．解析：由已知条件向量a，b，c均为单位向量可知，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0可知，(a＋b)·c≥1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)＝3－2c·(a＋b)≤1，故|a＋b－c|≤1.答案：14．(2022·高考湖北卷)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于________．\n解析：2a＋b＝(3,3)．a－b＝(0,3)，则cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故所求夹角为.答案：5．(2022·高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.解析：∵|2a－b|＝，∴4a2－4a·b＋b2＝10，即b2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3.答案：36．(2022·高考课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.解析：∵a＋b与ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，化简得(k－1)(a·b＋1)＝0，根据a、b向量不共线，且均为单位向量得a·b＋1≠0，得k－1＝0，即k＝1.答案：17．(2022·高考安徽卷)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案：二、解答题8．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)·cosB＝bcosC.(1)求B的大小；(2)设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k,1)(k＞1)，且m·n的最大值是5，求k的值．解：(1)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得，(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，即2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴2sinAcosB＝sinA.∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB＝.∵0＜B＜π，∴B＝.(2)m·n＝4ksinA＋cos2A\n＝－2sin2A＋4ksinA＋1，A∈，设sinA＝t，则t∈(0,1]．则m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2，t∈(0,1]．∵k＞1，∴t＝1时，m·n取最大值．依题意得(m·n)max＝－2＋4k＋1＝5，∴k＝.9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sinB，－)，n＝，且m∥n.又B为锐角．(1)求角B的大小；(2)已知b＝2，求△ABC的面积的最大值．解：(1)∵m∥n，∴2sinB＝－cos2B，∴sin2B＝－cos2B，即tan2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理得cosB＝，即a2＋c2－ac－4＝0.又∵a2＋c2≥2ac，代入上式得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，∴S△ABC＝acsinB＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．【B组】一、填空题1．(2022·苏州第二次质检)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则a＋b与a－b的夹角为________．解析：将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得：a·b＝0；将|a－b|＝|a|两边同时平方得：b2＝a2.所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.所以〈a＋b，a－b〉＝60°.\n答案：60°2．(2022·高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝________.解析：a∘b＝＝cosθ＝cosθ，b∘a＝cosθ，因为|a|>0，|b|>0,0<cosθ<，且a∘b、b∘a∈，所以cosθ＝，cosθ＝，其中m，n∈N*，两式相乘，得＝cos2θ，因为0<cosθ<，所以0<cos2θ<，得到0<m·n<2，故m＝n＝1，即a∘b＝.答案：3．(2022·高考陕西卷)设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于________．解析：∵a⊥b，∴1×(－1)＋cosθ·2cosθ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos2θ＝2cos2θ－1.答案：04．(2022·高考江西卷)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.解析：∵m⊥b，∴m·b＝2x－y＝0，∵m为单位向量，∴x2＋y2＝1，则x＝±，∴|x＋2y|＝|5x|＝.答案：5．(2022·高考北京卷)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.·的最大值为________．解析：以A点为原点，AB边所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示，则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)，B(1，0)，C(1,1)，D(0,1)，E(a,0)，0≤a≤1.·＝(a，－1)·(0，－1)＝a×0＋(－1)×(－1)＝1.·＝(a，－1)·(1,0)＝a＋(－1)×0＝a≤1，故·的最大值为1.答案：1 最大值为16．(2022·石家庄二模)已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a\n与向量a＋b的夹角为________．解析：∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为.答案：7．(2022·苏北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝________.解析：依题意得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，即3sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB>0，于是有cosA＝，sinA＝＝，又S△ABC＝·bcsinA＝bc×＝，所以bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccosA＝－3×＝－1.答案：－1二、解答题8．(2022·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2，|－|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，\n从而5t＝－11，所以t＝－.9．(2022·淮安模拟)已知向量m＝，n＝.(1)若m⊥n，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的值域．解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，即sincos＋cos2＝0，则sin＋cos＋＝0，即sin＝－，则cos＝－，所以cos＝2cos2－1＝－.(2)由题意，得f(x)＝m·n＝sin＋.∴f(A)＝sin＋.由(2a－c)cosB＝bcosC，及正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝，∴B＝，0<A<.∴<＋<，<sin<1.\n∴函数f(A)的值域是.
