5-3平面向量的数量积基础巩固强化1.(文)(2013·浙江省北仑中学上学期12月月考)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a与a＋2b垂直，则m的值为( )A．1 B．－1 C．－ D.[答案] B[解析] ∵a＋2b＝(－3,2m＋3)，a与a＋2b垂直，∴a·(a＋2b)＝－3＋3(2m＋3)＝6m＋6＝0，∴m＝－1.(理)在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( )A．－3B．－C.D．5[答案] D[解析] ∵＝(k,1)，＝(2,3)，∴＝－＝(2－k,2)，∵∠C＝90°，∴⊥，∴·＝2(2－k)＋6＝10－2k＝0，∴k＝5，故选D.2．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于( )A．30°B．120°C．150°D．30°或150°[答案] C[解析] S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝.又a·b<0，12\n∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°，选C.3．(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A(1,0)为，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ，(λ∈R)，则λ等于( )A．－1B．2C．1D．－2[答案] C[解析] 由条件知，＝(1,0)，＝(1，)，＝(λ－2，λ)，∵∠AOC＝120°，cos∠AOC＝＝，∴＝－，解之得λ＝1，故选C.4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·等于( )A．0 B. C. D．－[答案] A[解析] ∵A、B、C是⊙O上三点，∴||＝||＝||＝r (r>0)，∵＋＝，∴·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，故选A.5．若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有( )A．c⊥aB．c⊥bC．c∥bD．c∥a[答案] A[解析] c·a＝|a|2＋a·b＝1＋1×2×cos120°＝0.故c⊥a.6．(文)已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为( )A．4B．212\nC．2D.[答案] D[解析] ∵a·(b－a)＝a·b－|a|2＝a·b－4＝2，∴a·b＝6，|a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λa·b＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－)2＋3≥3，∴|a－λb|≥，故选D.(理)(2011·郑州六校质量检测)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] ∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝＝＝.又∵当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0，∴cosθ＝－，∴θ＝.故选C.7．已知向量a、b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是____________．[答案] 1[解析] 向量b在a上的投影为l＝＝|b|·cos60°＝1.8．已知＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.[答案] m∈R且m≠；[解析] (1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵＝(3,1)，＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠.即实数m≠，满足条件．12\n(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则⊥，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝.9．(文)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝________.[答案] 1[解析] |a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝1.(理)(2011·江西理)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．[答案] [解析] (a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，又cos〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为.10．(2012·长安一中、西安中学、交大附中、师大附中、高新一中模拟)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.(1)求角B的大小；(2)若sinA＋sinC的取值范围．[解析] (1)由m∥n知＝，即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知，cosB＝，得B＝.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋)＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈(0，)，12\n∴A＋∈(，)，∴sin(A＋)∈(，1]，∴sinA＋sinC的取值范围为(，].能力拓展提升11.已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，有两个点：A(－1，1)，B(3,3)，那么使向量与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是( )A．－1<a<2B．0<a<1C．－<a<D．0<a<2[答案] B[解析] 由题意设P(a,2a)，由数量积的性质知，两向量的夹角为钝角的充要条件为：·＝(－1－a,1－2a)·(3－a,3－2a)＝5a2－10a<0，且除去P、A、B三点共线这种特殊情况，解得0<a<2且a≠1.分析四个选项中a的取值范围使得满足条件a的取值构成的集合只需真包含在集合{a|0<a<2且a≠1}中即可，只有B选项符合．12．(2012·天津理，7)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P、Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 本小题考查向量的加法、减法法则、向量的数量积以及运算能力．∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC＝2且∠BAC＝60°，∴·＝2×2×cos60°＝2.又＝－＝(1－λ)－，＝＋＝－＋λ，∴·＝[(1－λ)－]·(－＋λ)12\n＝(λ－1)||2＋(λ－λ2＋1)·－λ||2＝(λ－1)×22＋(λ－λ2＋1)×2－λ×22＝－2λ2＋2λ－2，∴－2λ2＋2λ－2＝－，即4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.13．(2012·东北三校二模)已知M、N为平面区域内的两个动点，向量a＝(1,3)，则·a的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a＝(1,3)，直线AB：3x－y－6＝0，显见a是直线AB的一个方向向量，由于M、N是△ABC围成区域内的任意两个点，故当M、N分别为A、B点时，·a取最大值，求得A(0，－6)，B(4,6)，∴＝＝(4,12)，∴·a＝40.14．(文)(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.[答案] 1812\n[解析] 过C作BD的平行线，与AP的延长线交于Q点，则AQ＝2AP＝6，则·＝||·||cos〈，〉＝||||＝3×6＝18.(理)(2012·安徽理，14)若平面向量a、b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．[答案] －[解析] 本题考查了平面向量数量积的性质的应用．解法1：由|2a－b|≤3得，4a2＋b2≤9＋4a·b，又4a2＋b2≥4|a||b|≥－4a·b，所以9＋4a·b≥－4a·b⇔a·b≥－.解法2：由向量减法的三角形法则知，当a与b方向相反时，|2a－b|取到最大值，此时设a＝λb(λ<0)，则有|2a－b|＝|2λ－1||b|＝3，∴|b|＝，|a|＝，当a与b共线反向时，a·b＝|a|·|b|·cosπ＝－＝＝≥－，(当且仅当λ＝－时取等号)，∴a·b的最小值为－.[点评] 在高考中对平面向量的考查，数量积的性质的应用是考查的重点内容，应在复习中加以重视．15．(2012·东北三校联考)已知向量m＝(2，－1)，n＝(sin，cos(B＋C))，A、B、C为△ABC的内角，其所对的边分别为a、b、c.(1)当m·n取得最大值时，求角A的大小；(2)在(1)的条件下，当a＝时，求b2＋c2的取值范围．12\n[解析] (1)m·n＝2sin－cos(B＋C)＝－2sin2＋2sin＋1＝－2(sin－)2＋，∵0<A<π，∴0<<，∴当sin＝，即A＝时，m·n取得最大值．(2)由＝＝＝＝2得，b＝2sinB，c＝2sinC，∵C＝π－A－B＝－B，∴b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C＝4＋2sin(2B－)，∵0<B<，∴－<2B－<，∴－<sin(2B－)≤1，∴3<b2＋c2≤6，∴b2＋c2的取值范围为(3,6]．16．(文)设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝(－，)．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量a＋b与a－b的模相等时，求α的大小．[解析] (1)证明：因为(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(＋)＝0，故a＋b与a－b垂直．(2)由|a＋b|＝|a－b|，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋3|b|2，所以2(|a|2－|b|2)＋4a·b＝0，而|a|＝|b|，所以a·b＝0，则(－)×cosα＋×sinα＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.(理)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)12\n(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[解析] (1)由a与b－2c垂直．a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β最大值为32，∴|b＋c|的最大值为4.(3)证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.1．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为( )A.－θB．θ－C.＋θD．θ[答案] A[解析] 解法一：∵<θ<π，∴由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为－θ.12\n解法二：cos〈a，b〉＝＝＝－sinθ＝cos，∵θ∈，∴－θ∈，又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ.2．(2012·湖南理，7)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝( )A.B.C．2D.[答案] A[解析] 本题考查向量的运算及解三角形中余弦定理应用．由题意知，·＝1，即·(＋)＝1，－2＋·＝1，∴·＝5，设〈，〉＝θ，则2×3×cosθ＝5，∴cosθ＝，在△ABC中，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosθ＝4＋9－2×2×3×＝3，∴BC＝.3．(2012·浙江理，5)设a、b是两个非零向量( )A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|[答案] C[解析] 若|a＋b|＝|a|－|b|，则b与a的方向相反，或b＝0，∴存在实数λ(λ≤0)，使b＝λa，因此C正确．[点评] |a＋b|＝|a|－|b|⇔a·b＝－|a|·|b|⇔a与b反向共线或b＝0；|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a·b＝|a|·|b|⇔a与b同向共线或至少一个为0.4．(2012·大纲全国理，6)△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )A.a－bB.a－b12\nC.a－bD.a－b[答案] D[解析] ∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，又|a|＝1，|b|＝2∴AB＝，∴CD＝，∴BD＝，AD＝.即ADBD＝41.∴＝＝(－)＝(a－b)．故选D.本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D的位置．5．(2012·黄冈市期末)若·＋2＝0，则△ABC必定是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形[答案] B[解析] ·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．6．(2012·天津五县区期末)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)( )A．最大值为8B．最小值为2C．是定值6D．与P的位置有关[答案] C[解析] 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，12\nC(1,0)，A(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，设P(x,0)，－1≤x≤1，则＝(x，－)，∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故选C.7．(2012·北京东城区期末)如图所示，点P是函数y＝2sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0)的图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，若·＝0，则ω的值为( )A.B.C．4D．8[答案] B[解析] ∵·＝0，∴PM⊥PN，又P为函数图象的最高点，M、N是该图象与x轴的交点，∴PM＝PN，yP＝2，∴MN＝4，∴T＝＝8，∴ω＝.12
