第八章解析几何\n第三讲 圆的方程\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 圆的定义及方程定点定长(a，b)r\n知识点二 点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2⇔点在圆上；(2)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2⇔点在圆外；(3)(x0－a)2＋(y0－b)2______r2⇔点在圆内．＝><\n1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．2．圆心在任一弦的垂直平分线上．3．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA·kPB＝－1，由斜率公式代入整理即可)．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)(此题为更换后新题)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()√√√\n×√×\n题组二 走进教材2．(选择性必修1P88T4)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为__________________.(x－2)2＋y2＝10\n3．(选择性必修1P98T2(1))以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9C\n题组三 走向高考4．(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_________________.[解析]∵抛物线的方程为y2＝4x，∴其焦点坐标为F(1，0)，准线l的方程为x＝－1.又∵圆与直线l相切，∴圆的半径r＝2，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.(x－1)2＋y2＝4\nB\n\n考点突破·互动探究\n(1)(2021·浙江丽水高中发展共同体期末)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋2y＝4与x轴交于A点，直线m：kx＋y－1＝0与y轴及直线l分别交于B点，C点，且A，B，C，O四点共圆，则此圆的标准方程是_____________________.(2)(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.例1考点一圆的方程——自主练透x2＋y2－2x＝0\nB(x－2)2＋y2＝9\n\n\n\n求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，进而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．\n(x＋1)2＋(y＋2)2＝104\n\n例2考点二与圆有关的最值问题——多维探究\n例3B\n\n例4D\n\n[引申]本例中若P(x，y)，则(1)(x＋3)2＋(y＋1)2的最大值为______，最小值为_____.(2)|x－2y－2|的取值范围为____________________.499\n\n\n－6\n\n已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解析](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.例5考点三与圆有关的轨迹问题——师生共研\n(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.\n求与圆有关的轨迹方程的方法\n〔变式训练3〕(2022·河北衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例6D\n\n\n[引申]本例(1)中入射光线所在直线的方程为____________________________.4x－3y－1＝0或3x－4y－6＝0\n1．光的反射问题一般化为轴对称解决．2．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．3．定点到圆上动点距离的最大(小)值为定点到圆心的距离加(减)半径；圆上的点到定直线距离的最大(小)值为圆心到直线的距离加(减)半径．\nA
