活页作业 圆的方程一、选择题1．(2022·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．经验证知只有C选项中的直线经过圆心，故选C.答案：C2．(理)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝02．(文)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：依题意，设圆心坐标为(a,1)(a＞0)，则有＝1，由此解得a＝2，因此所求圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：A3．(理)已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )A．3－ B．3＋C．3－ D.解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1.7\n∴Smin＝×(2)×＝3－.答案：A3．(文)已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径是( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：取直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点为A(8,0)，B(0,6)，由题知线段AB为圆的直径，且|AB|＝10，因此圆的半径是5.答案：C4．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A. B.∪[0，＋∞)C. D.5．(理)(2022·咸阳模拟)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by－4＝0对称，则a2＋b2的最小值是( )A．2 B. C. D．1解析：由题意知圆心(－1,2)在直线2ax＋by－4＝0上，则有－2a×1＋2b－4＝0，∴b－a＝2.方法一：a2＋b2的几何意义是原点与直线b－a＝2上点的距离的平方，再利用点到直线的距离公式易得点(0,0)到直线b－a＝2的距离为d＝，则a2＋b2的最小值为2.方法二：a2＋b2＝a2＋(a＋2)2＝2a2＋4a＋4＝2(a＋1)2＋2≥2.当a＝－1时等号成立，故a2＋b27\n的最小值为2.答案：A5．(文)(2022·吉林模拟)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解析：由题意，得圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，得b＝－2，由圆成立的条件可得(－2)2＋62－4×5a＞0，解得a＜2，∴a－b＜4.答案：A6．(理)(金榜预测)已知直线ax＋by＝1和点A(b，a)(其中a，b都是正实数)，若直线过点P(1,1)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值等于( )A. B. C. D．π6．(文)(金榜预测)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y－3)2＝2B．(x－3)2＋(y－1)2＝2C．(x－2)2＋2＝9D．(x－)2＋(y－)2＝9解析：设圆心(a＞0)，则圆心到直线的距离d＝7\n≥＝3，当且仅当3a＝，即a＝2时等号成立．此时圆心为，半径为3，因此圆的方程为(x－2)2＋2＝9.答案：C二、填空题7．(理)(2022·保定模拟)已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________，半径为________．解析：由点P(2,1)在圆上得2a＋b＝－3，由点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上知直线过圆心，即满足方程x＋y－1＝0，所以a＝0，b＝－3，圆心坐标为(0,1)，半径r＝2.答案：(0,1) 27．(文)(2022·晋中模拟)圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4上存在两相异点关于过点(0,1)的直线l对称，则直线l的方程为________．解析：注意到直线l必过圆心(－2，－1)，故直线l的方程是y－1＝x，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝08．(理)已知＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，α∈R，O为坐标原点，向量满足＋＝0，则动点Q的轨迹方程是_________________________________________________．8．(文)已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且＋＝，则·＝________.解析：据已知得·＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0.答案：0三、解答题9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.7\n(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得或，∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10．(理)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0关于直线x＋y－1＝0对称，圆心C在第二象限，半径为.(1)求圆C的方程；(2)是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．7\n(2)设直线l在x轴、y轴上的截距为a，由(1)知圆C的圆心C(－1,2)，(ⅰ)当a＝0时，直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0，由直线kx－y＝0与圆C相切得，＝，整理得k2－4k－2＝0，解得k＝2±，故直线l的方程为y＝(2±)x，即(2±)x－y＝0；(ⅱ)当a≠0时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0，由直线x＋y－a＝0与圆C相切，得＝，整理|a－1|＝2，解得a＝－1，或a＝3.7\n故直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上所述，存在四条直线满足题意，其方程为(2±)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.10．(文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7
