第十章计数原理、概率、随机变量及其分布\n第二讲 排列与组合\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 排列与排列数(1)排列的定义：从n个________元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_______表示．不同顺序所有不同排列\nn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)n！1\n知识点二 组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个________元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_______表示．不同作为一组所有不同组合\n1\n对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．\n××√√×√\n题组二 走进教材2．(选择性必修3P38T3(2)改编)某班一天上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术每科一节，要求数学排在上午，体育不排上午第一节和下午第二节，则不同的安排种数是_______.312\n题组三 走向高考3．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种D\n4．(2018·浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)1260\n5．(2018·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)16\n考点突破·互动探究\n(1)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：①选其中5人排成一排；_________②排成前后两排，前排3人，后排4人；_________③全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；_________例12520考点一排列问题——自主练透50403600\n④全体排成一排，女生必须站在一起；_______⑤全体排成一排，男生互不相邻；_________⑥全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；_______⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；_________⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．_________576144072025203720\n(2)(2022·江苏连云港调研)2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小王、小罗五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为()A．12B．24C．36D．48C\n\n\n\n\n[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有_______种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有_______种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有_______种．720960960\n求解排列应用问题的6种主要方法\n\n〔变式训练1〕(1)(2022·广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有______种不同的调度方法．(用数字填写答案)(2)(2021·辽宁沈阳市郊联合体期末)电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映，在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是______.7216\n\n(1)从7名男生、5名女生中选取3人，则A、B不全当选的选法有_______种，至少有2名女生的选法有______种，男生、女生都有的选法有_______种．(2)(2022·广东中山模拟)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85B．49C．56D．28例2210考点二组合问题——师生共研80175B\n\n[引申]本例(2)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有______种；②甲、乙都不入选的选法有______种．5656\n组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．\n〔变式训练2〕(1)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为()A．10B．15C．20D．24(2)(2022·江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为()A．30B．60C．90D．120AD\n\n角度1相邻、相间问题(1)(2021·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有_______种．例3120考点三排列、组合的综合应用——多维探究\n(2)(2022·湖南师范大学附属中学模拟)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A．16B．24C．8D．12A\n\n[引申]本例(1)中，若将“丙、丁必须排在一起”改为“丙、丁不相邻”，则应填_______.240\n角度2特殊元素(位置)问题(1)(2022·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96(2)(2022·山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别安排语文、数学、英语和体育．其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有_____种．例4D9\n\n\n[引申]本例(1)若增加“且乙不参加数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为______.78\n角度3分组、分配问题(1)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；______②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；_______③平均分成三份，每份2本；______④平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；______；例5603601590\n⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；______⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；______⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．______(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有______种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1，2，3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有______种．1590303555\n(3)(2022·浙江山水联盟联考)2021年7月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家赴三地工作．因工作需要，每地至少需要安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为()A．36B．30C．24D．18B\n\n\n解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．\n隔板法的解题步骤①定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．②定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．③插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．④回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．\n〔变式训练3〕(1)(角度1)(2022·北京通州期中)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有()A．408种B．240种C．192种D．120种A\n(2)(角度2)(2021·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．36种B．42种C．48种D．60种(3)(角度3)(2021·浙江模拟)在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出4名男交警和3名女交警到3所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排2人，且每所学校必须有1名女交警，则不同的安排方法有()A．216种B．108种C．72种D．36种BA\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例6B\n\n2．多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计．3．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。4．“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法：\n例784\n\n5．选排问题先取后排：从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法．6．部分合条件问题排除法：在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求．\n例848\n7．圆排问题单排法：把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列，而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而不计首位、末位之分，下列n个普通排列：a1，a2，a3，…，an；a2，a3，a4，…，an，a1；a3，a4，…，an，a1，a2；…在圆排中是同一排法．8．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法．
