第2讲 匀变速直线运动的规律及应用\n必备知识·自主排查关键能力·分层突破\n必备知识·自主排查\n一、匀变速直线运动及其公式加速度相同相反v＝v0＋atv0t＋at22axaT2\n二、初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论1．T末、2T末、3T末、……、nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝________________．2．T内、2T内、3T内、……、nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝________________．3．第1个T内、第2个T内、第3个T内、……、第n个T内的位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝__________________．1∶2∶3∶…∶n1∶4∶9∶…∶n21∶3∶5∶…∶(2n－1)\n4．从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝____________________________________．1∶(－1)∶()∶…∶()\n三、自由落体运动和竖直上抛运动静止gtgt22gh向上重力v0－gtv0t－gt2－2gh\n【生活情境】1.一辆汽车从静止出发，在交通灯变绿时从A点以2.0m/s2的加速度在平直的公路上做匀加速直线运动，经一段时间运动到B点，速度达20m/s，则\n(1)汽车在运动过程中，速度是均匀增加的．()(2)汽车在运动过程中，位移是均匀增加的．()(3)汽车在运动过程中，在任意相等的时间内，速度的变化量是相等的．()(4)汽车从A点运动到B点所用时间为10s，位移为100m．()(5)汽车从A点运动到B点，中间时刻的速度为10m/s.()(6)汽车从A点运动到B点，位移中点的速度为10m/s.()√×√√√√\n【教材拓展】2.[人教版必修第一册P44T4改编]航空母舰的战斗力主要依靠舰载机，假设航空母舰静止在海面上，舰载机在航母跑道上从静止开始以5m/s2的加速度做匀加速直线运动；(1)求第4s末时舰载机的速度大小；(2)求前4s内舰载机的位移大小；(3)若舰载机需要达到50m/s的速度才可升空，舰载机开始时获得30m/s的初速度，求航母跑道的最短长度．解析：(1)根据v＝v0＋at，有v4＝at4＝5×4m/s＝20m/s；(2)根据x＝v0t＋at2，有x4＝＝×5×42m＝40m；(3)根据＝m＝160m.\n关键能力·分层突破\n考点一 匀变速直线运动规律的应用1．运动学公式中符号的规定：一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值．若v0＝0，一般以a的方向为正方向．2．匀变速直线运动公式的选用一般问题用两个基本公式可以解决，以下特殊情况下用导出公式会提高解题的速度和准确率；(1)不涉及时间，选择＝2ax；(2)不涉及加速度，用平均速度公式，比如纸带问题中运用＝＝求瞬时速度；(3)处理纸带问题时用Δx＝x2－x1＝aT2，xm－xn＝(m－n)aT2求加速度．\n角度1基本公式法例1如图是宁波某商场里的螺旋滑梯，它是孩子喜欢的游玩设施．小明从螺旋滑梯的A点由静止开始沿螺旋滑梯加速滑到B处，AB段总长度为18m．小明在该段通过的路程s随时间t的变化规律为s＝，在BC段滑动时看作匀减速直线运动，BC长度x＝3m，小明最后停在C点处，小明可以看作质点，螺旋滑梯可看作沿轨道切线做匀加速运动，求：(1)小明在B点的速度大小；(2)小明在BC段的加速度大小．\n解析：(1)螺旋滑梯可看作斜面模型，可看成沿轨道切线方向做匀加速运动，由s＝a1t2得沿轨道切线加速度a1＝0.25m/s2，根据v2－0＝2a1L，得B点的速度v＝3m/s.(2)根据运动学公式得：x＝，BC段加速度大小a2＝＝m/s2＝1.5m/s2.\n角度2推论的应用例2如图所示，哈大高铁运营里程为921km，设计时速为350km.某列车到达大连北站时刹车做匀减速直线运动，开始刹车后第5s内的位移是57.5m，第10s内的位移是32.5m，已知10s末列车还未停止运动，则下列说法正确的是()A．在研究列车从哈尔滨到大连所用时间时不能把列车看成质点B．921km是指位移C．列车做匀减速直线运动时的加速度大小为6.25m/s2D．列车在开始刹车时的速度为80m/s答案：D\n解析：因列车的长度远小于哈尔滨到大连的距离，故研究列车行驶该路程所用时间时可以把列车视为质点，选项A错误；由位移与路程的意义知921km是指路程，选项B错误；由xn－xm＝(n－m)aT2，解得加速度a＝＝－5m/s2，即加速度大小为5m/s2，选项C错误；匀变速直线运动中平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则第4.5s末列车速度为57.5m/s，由速度公式可得v0＝v－at＝57.5m/s－(－5m/s2×4.5s)＝80m/s，选项D正确．\n[思维方法]解决运动学问题的基本思路：\n1.(多选)如图所示，某驾驶员开着汽车正以v0＝72.0km/h的速度在平直公路上匀速行驶，突然发现前方路面上45.0m处出现一只小猫，出于关爱生命的考虑，驾驶员采取了紧急制动措施，若刹车过程中车轮与路面之间只有滑动摩擦力，汽车做匀减速直线运动，滑行x＝36.0m后停下来．取g＝10m/s2，则下列说法正确的是()A．汽车与路面间的动摩擦因数为μ＝0.3B．汽车在减速过程中通过前24.0m与后12.0m的时间之比为(－1)∶1C．若驾驶员看到小猫后的反应时间小于0.4s，则紧急制动后小猫没有危险D．汽车在刹车过程中的平均速度为12.0m/s答案：BC\n解析：v0＝72km/h＝20m/s.汽车的加速度大小记为a，则a＝，又μmg＝ma，联立可得μ＝≈0.56，选项A错误；利用逆向思维法把汽车的匀减速运动过程视为初速度为零的匀加速直线运动，则汽车通过连续相等的位移所用的时间之比为1∶(－1)∶()∶…，所以汽车在减速过程中通过前24.0m与后12.0m的时间之比为(－1)∶1，选项B正确；若驾驶员看到小猫后的反应时间小于0.4s，则汽车在反应时间内的位移小于x0＝v0t＝8.0m，总位移小于44.0m，选项C正确；汽车在刹车过程中做匀减速直线运动的平均速度＝＝10.0m/s，选项D错误．\n2.如图所示，小滑块在较长的固定斜面顶端，以初速度v0＝2m/s、加速度a＝2m/s2沿斜面加速向下滑行，在到达斜面底端前1s内，滑块所滑过的距离为L，其中L为斜面长．求：滑块在斜面上滑行的时间t和斜面的长度L.\n解析：由题意有：a＝2m/s2，v0＝2m/s；设滑块从A运动到B的时间为t1，运动到B点的速度为v1，对AB段有：v1＝v0＋at1；＝；对BC段有：＝v1×1＋a×12；联立得t1＝2s，L＝15m；滑块在斜面上滑行的时间为：t2＝t1＋1s＝3s.\n考点二 自由落体运动和竖直上抛运动角度1自由落体运动(一题多变)例3如图所示，屋檐上水滴下落的过程可以近似地看作是自由落体运动．假设水滴从10m高的屋檐上无初速度滴落，水滴下落到地面时的速度大约是多大？(g取10m/s2)解析：选取水滴最初下落点为位移的起点，竖直向下为正方向，由自由落体运动规律知h＝gt2，v＝gt联立得v＝代入数据得v＝m/s≈14m/s即水滴下落到地面的瞬间，速度大约是14m/s.\n【考法拓展】在[例3]中水滴下落过程中经过2m高的窗户所需时间为0.2s．那么窗户上沿到屋檐的距离为多少？解析：设水滴下落到窗户上沿时的速度为v0，则由h＝v0t＋gt2得，2＝v0×0.2＋×10×0.22解得v0＝9m/s根据＝2gh得窗户上沿到屋檐的距离h＝＝m＝4.05m.\n角度2竖直上抛运动(一题多解)例4气球以10m/s的速度匀速上升，当它上升到离地175m的高处时，一重物从气球上脱落，则重物需要经过多长时间才能落到地面？到达地面时的速度是多大？(g取10m/s2)\n解析：方法一 把竖直上抛运动过程分段研究设重物离开气球后，经过t1时间上升到最高点，则t1＝＝s＝1s.上升的最大高度h1＝＝m＝5m.故重物离地面的最大高度为H＝h1＋h＝5m＋175m＝180m.重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为t2＝＝s＝6s.v＝gt2＝10×6m/s＝60m/s.所以重物从气球上脱落至落地共历时t＝t1＋t2＝7s.\n方法二 取全过程作一整体进行研究从物体自气球上脱落计时，经时间t落地，规定初速度方向为正方向，画出运动草图如图所示，则物体在时间t内的位移h＝－175m.由位移公式h＝v0t－gt2有，－175＝10t－×10t2，解得t＝7s和t＝－5s(舍去)，所以重物落地速度为v1＝v0－gt＝10m/s－10×7m/s＝－60m/s.其中负号表示方向向下，与初速度方向相反．\n方法三 对称法根据速度对称知，重物返回脱离点时，具有向下的速度v0＝10m/s，设落地速度为v，则＝2gh.解得v＝60m/s，方向竖直向下．经过h历时Δt＝＝5s.从最高点到落地历时t1＝＝6s.由时间对称可知，重物脱落后至落地历时t＝2t1－Δt＝7s.\n[思维方法]竖直上抛运动的研究方法(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下降过程的自由落体阶段．(2)全程法：将全过程视为初速度为v0、加速度为a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v0的方向为正方向，则v>0时，物体正在上升；v<0时，物体正在下降；h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方．\n拓展点两类特殊的匀减速直线运动类型1——刹车类问题汽车匀减速到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意确定其实际运动的时间．如果问题涉及最后阶段(到停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．\n例5[2022·山西四校联考]以36km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为a＝4m/s2的加速度，刹车后第3s内，汽车走过的路程为()A．12.5mB．2mC．10mD．0.5m答案：D解析：由v＝at可得从刹车到静止所需的时间t＝2.5s，则第3s内的位移实际上就是2～2.5s内的位移，x＝at′2＝0.5m.\n类型2——双向可逆类(类竖直上抛运动)如果沿光滑斜面上滑的小球，到最高点仍能以原加速度匀加速下滑，则小球全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可看成类竖直上抛运动对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义．\n例6(多选)一物体以5m/s的初速度在光滑斜面上向上匀减速运动，其加速度大小为2m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4m，则时间t可能为()A．1sB．3sC．4sD．s答案：ACD解析：以沿斜面向上为正方向，当物体的位移为4m时，根据x＝v0t＋at2得4＝5t－×2t2解得t1＝1s，t2＝4s当物体的位移为－4m时，根据x＝v0t＋at2得－4＝5t－×2t2解得t3＝s，故A、C、D正确，B错误．\n【跟进训练】3．位于瑞士的世界上最大的人工喷泉——日内瓦喷泉如图所示．已知该喷泉竖直向上喷出，喷出时水的速度为53m/s，喷嘴的出水量为0.5m3/s，不计空气阻力，则空中水的体积应为(g取10m/s2)()A．2.65m3B．5.3m3C．10.6m3D．15.9m3答案：B解析：喷出的水做竖直上抛运动，水的流速v0＝53m/s，水在空中停留的时间t＝＝s＝10.6s，即水在空中停留时间为10.6s，处于空中的水的体积为V＝Qt＝0.5×10.6m3＝5.3m3，故选项B正确．\n4．[2022·湖南长沙模拟]如图所示，某同学测出一棵苹果树树干部分的高度约为1.6m，一个苹果从树冠顶端的树梢上由于受到扰动而自由下落，该同学测出苹果经过树干所用的时间为0.2s，重力加速度g取10m/s2，则：(1)苹果树树冠部分的高度约为多少？(2)苹果落地时的速度为多大？\n解析：(1)设树冠高度为h1，树干高度为h2，苹果从顶部下落到树干顶部的速度为v0，则h2＝v0t＋gt2，代入数据解得：v0＝7m/s又根据速度—位移公式：＝2gh1，代入数据解得：h1＝2.45m(2)设树的总高度为H，苹果落地的速度为v1，则根据速度—位移公式：＝2gH总高度为：H＝h1＋h2＝4.05mv1＝＝9m/s\n考点三 匀变速直线运动的实际应用STSE问题——核心素养提升匀变速运动与交通、体育和生活等紧密联系，常见的匀变速直线运动STSE问题有行车安全、交通通行和体育运动等，解决这类问题的关键：(1)建模——建立运动的模型(列出运动方程)；(2)分段——按照时间顺序，分阶段研究运动．\n情境1“机动车礼让行人”[2021·浙江6月，19]机动车礼让行人是一种文明行为．如图所示，质量m＝1.0×103kg的汽车以v1＝36km/h的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线s＝20m处，驾驶员发现小朋友排着长l＝6m的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前．假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间．\n(1)求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；(2)若路面宽L＝6m，小朋友行走的速度v0＝0.5m/s，求汽车在斑马线前等待小朋友全部通过所需的时间；(3)假设驾驶员以v2＝54km/h超速行驶，在距离斑马线s＝20m处立即刹车，求汽车到斑马线时的速度．\n解析：(1)设汽车刹车过程的加速度为a，所用时间为t1，所受阻力为Ff由运动学公式得＝2as①v1＝at1②由牛顿第二定律得Ff＝ma③联立①②③解得t1＝4s④Ff＝2.5×103N⑤(2)设汽车等待时间为t，小朋友匀速过马路所用时间为t2则由运动学公式得l＋L＝v0t2⑥t＝t2－t1⑦联立④⑥⑦解得t＝20s⑧(3)设汽车到斑马线时的速度为v，在汽车刹车过程中由运动学有－v2＝2as⑨联立①⑤⑨解得v＝5m/s⑩\n命题分析试题情境属于基础性题目，以小朋友排队过斑马线为素材创设生活实践问题情境必备知识考查匀变速直线运动规律及公式关键能力考查理解能力、推理能力、模型建构能力．小朋友排队行走为匀速运动，汽车做匀减速运动，根据运动学公式得结果学科素养考查物理观念、科学思维．要求考生由实际问题建构物理模型，由基本公式综合解决问题\n情境2ETC通道[新教材人教版必修第一册P53习题改编]ETC是不停车电子收费系统的简称，汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以v1＝12m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10m处正好匀减速至v2＝4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶，设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2.求：\n(1)汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；(2)汽车过人工收费通道时，应在离收费站中心线多远处开始减速；(3)汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间．解析：(1)过ETC通道时，减速的位移和加速的位移相等，则x1＝＝64m故总的位移x总1＝2x1＋d＝138m(2)过人工收费通道时，开始减速时距离中心线为x2＝＝72m(3)过ETC通道的时间t1＝×2＋＝18.5s过人工收费通道的时间t2＝×2＋t0＝44sx总2＝2x2＝144m二者的位移差Δx＝x总2－x总1＝6m在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，则Δt＝t2－＝25s\n[教你解决问题]——提取信息模型建构[读题审题]关键词句提取信息汽车以v1＝12m/s的速度朝收费站沿直线行驶开始时汽车匀速正常行驶过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10m处正好匀减速至v2＝4m/s，匀速通过中心线后先匀减速，然后匀速运动10m再匀加速至v1正常行驶加速运动后匀速如果过人工收费通道……正常行驶匀减速到速度为零，停20s，再加速汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2加速度大小已知\n[模型建构](1)过ETC通道时经历三个运动阶段：(2)过人工收费通道经历两个运动阶段：\n[思维方法]解决STSE问题的方法在解决生活和生产中的实际问题时．(1)根据所描述的情景物理过程物理模型．(2)分析各阶段的物理量．(3)选取合适的匀变速直线运动规律求解．\n情境3“酒驾”[2022·湖北襄阳高三联考]酒后驾车严重威胁公共交通安全．将驾驶员从视觉感知到前方危险开始到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离．科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化．一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动的vt图线分别如图甲、乙所示．求：(1)正常驾驶时的感知制动距离s；(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δs.\n解析：(1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t1、t2，由图线可知t1＝0.5s，t2＝1.5s，汽车初速度v0＝30m/s，汽车制动时的减速时间为t3＝4.0s，由图线可得，正常驾驶时的感知制动距离s＝v0t1＋t3＝75m.(2)同理，可求出酒后驾驶时的感知制动距离s′＝105m所以Δs＝s′－s＝105m－75m＝30m.\n[拓展]有关汽车行驶的几个概念(1)反应时间：人从发现情况到采取相应的行动经过的时间叫反应时间．(2)反应距离：驾驶员发现前方有危险时，必须先经过一段反应时间后才能做出制动动作，在反应时间内汽车以原来的速度行驶，所行驶的距离称为反应距离．(3)刹车距离：从制动刹车开始到汽车完全停下来，汽车做匀减速直线运动，所通过的距离叫刹车距离．(4)停车距离：反应距离和刹车距离之和就是停车距离．(5)安全距离：指在同车道行驶的机动车，后车与前车保持的最短距离，安全距离包含反应距离和刹车距离两部分．
