1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第9讲一元二次方程及其应用目录\n数据链接真题试做12命题点解一元二次方程命题点一元二次方程根的判别式\n解一元二次方程命题点1返回子目录1.(2012·河北,8)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是()A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x-2)2=5D.(x+2)2=52.(2010·河北,16)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为.A1数据链接真题试做1\n返回子目录3.(2014·河北,21)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:\n返回子目录(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是.(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.x=四将方程x2-2x-24=0变形为x2-2x=24.配方,得x2-2x+1=24+1.整理,得(x-1)2=25.解得x1=6,x2=-4.\n返回子目录一元二次方程根的判别式命题点24.(2019·河北,15)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根A\n返回子目录5.(2016·河北,14)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有两个相等的实数根B6.(2015·河北,12)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是()A.a<1B.a>1C.a≤1D.a≥1B\n数据聚焦考点梳理12考点一元二次方程及其解法考点一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点一元二次方程根的应用3\n一元二次方程及其解法考点1返回子目录1.一元二次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是①的整式方程叫做一元二次方程.2.一般形式ax2+bx+c=0(其中a,b,c为常数,a≠0),其中ax2,bx,c分别叫做二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.2数据聚集考点梳理2\n返回子目录3.一元二次方程必备的三个条件(1)必须是②方程;(2)必须只含有③未知数;(3)所含未知数的最高次数是④.整式一个24.一元二次方程的四种解法解法适用题型方法或步骤直接开平方法x2=m(m≥0)或(x±m)2=n(n≥0)1.观察方程是否符合x2=m(m≥0)或(x±m)2=n(n≥0)的形式;2.直接开平方,得两个一元一次方程;3.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根\n返回子目录解法适用题型方法或步骤配方法所有有实根的一元二次方程1.将二次项系数⑤;2.移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为⑥;3.方程两边都加上一次项系数一半的平方;4.原方程变为⑦;5.直接开平方,得两个一元一次方程;6.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根化为1常数项(x±m)2=n(n≥0)\n公式法所有有实根的一元二次方程1.把方程化为一般形式;2.确定a,b,c的值;3.求出b2-4ac的值;4.将a,b,c的值代入x=⑧因式分解法左边能分解因式,右边为0的一元二次方程1.将方程右边化为0;2.将方程左边进行因式分解;3.令两个因式⑨,得两个一元一次方程;4.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根返回子目录解法适用题型方法或步骤分别等于0\n返回子目录【易错提示】对于方程两边含有相同因式的一元二次方程,应将方程化为一般式求解,不能直接约去公因式,从而丢根.\n返回子目录一元二次方程根的判别式及根与系数的关系考点21.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac.(1)当b2-4ac⑩0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac0时,方程无实数根.>=<※2.一元二次方程根与系数的关系设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2,则有x1+x2=-,x1·x2=.\n返回子目录一元二次方程的应用考点31.列一元二次方程解应用题的步骤:和列一元一次方程解应用题的步骤一样,共分审、设、列、解、验、答六步.2.列一元二次方程解应用题时,经济类和面积类问题是常考内容(1)有关增长率的等量关系:A.增长率=×100.B.a为基础量,当m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量时,a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,a(1-m)n=b.\n返回子目录(2)面积类问题中的常见图形(如图①).平移转化法:设阴影部分的宽为x,通过平移可将图①转化为图②,由图②易知空白部分的面积为(a-x)(b-x).(3)利润等量关系:①利润=售价-成本;②利润率=×100%.\n数据剖析题型突破123考向一元二次方程的解法考向一元二次方程根的判别式考向一元二次方程根与系数的关系考向一元二次方程根的应用4\n返回子目录1.(2021·河北模拟)用配方法解下列方程时,配方有错误的是()一元二次方程的解法（5年考0次）考向1A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x-9=0化为(x+4)2=25C.2t2-t-4=0化为=D.3x2-4x-2=0化为=C2.(2021·石家庄模拟)一元二次方程x2-5x+6=0的解为()A.x1=2,x2=-3B.x1=-2,x2=3C.x1=-2,x2=-3D.x1=2,x2=3D数据剖析题型突破3\n返回子目录3.(2021·邯郸模拟)若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是()A.1B.3-C.1+D.2+A4.解下列方程:(1)3x2-11x+6=0;(2)3x2-2x-2=0.解:(1)因式分解得(3x-2)(x-3)=0,3x-2=0或x-3=0,x1=,x2=3.(2)移项,得3x2-2x=2,配方,得3=,解得x1=,x2=.\n返回子目录5.(2021·河北模拟)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,并求出x的值.【问题】解方程:x2+2x+4-5=0.【提示】可以用“换元法”解方程.解:设==t(t≥0),则有x2+2x=t2,原方程可化为.【续解】\n解:原方程可化为t2+4t-5=0,∴(t+5)(t-1)=0,∴t+5=0或t-1=0,∴t1=-5,t2=1,当t=-5时,=-5,∵≥0,∴方程=-5无实数根,当t=1时,=1,∴x2+2x=1,∴x2+2x+1=2,∴(x+1)2=2,∴x+1=±,∴x=-1±,∴x1=-1+,x2=-1-,经检验可知,x1=-1+,x2=-1-都是原方程的根,∴原方程的根为x1=-1+,x2=-1-,∴x的值为-1+或-1-.返回子目录\n一元二次方程的主要解法:(1)直接开平方法.(2)配方法.(3)公式法:x=.(4)因式分解法.解一元二次方程的关键是根据方程的特点选择合适的方法,一般情况下优先考虑因式分解法.返回子目录\n返回子目录一元二次方程根的判别式（5年考2次）考向21.(2021·河北全真模拟)已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k<B.k>C.k<且k≠0D.k>且k≠0C\n返回子目录2.(2021·石家庄模拟)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2或2D.-3或13.(2021·河北模拟)关于x的一元二次方程ax2-2ax-b=0有一个实数根x=1,则下面关于该方程的判别式Δ的说法正确的是()A.Δ>0B.Δ=0C.Δ<0D.无法确定AB\n返回子目录4.(2021·石家庄质检)定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算.例如,4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6.若x*k=x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为()A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根C\n5.(2021·石家庄长安区模拟)关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0(m≠0).(1)求证:当m≠0时,无论m为何值,该方程总有实数根;(2)若m=2,用公式法解这个方程.返回子目录解:(1)证明:关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0(m≠0),∵b2-4ac=(3m-1)2-4m(2m-1)=(m-1)2≥0,∴该方程总有实根.(2)当m=2时,关于x的一元二次方程为2x2-5x+3=0,b2-4ac=(m-1)2=1.x=,解得x1=,x2=1.\n返回子目录6.(2021·原创题)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.解:(1)由题意知a≠0.∵Δ=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4>0,∴原方程有两个不相等的实数根.(2)答案不唯一,满足b2-4a=0(a≠0)即可,例如:令a=1,b=-2,则原方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.\n返回子目录利用根的判别式可以判别一元二次方程根的情况,也可以由方程根的情况确定方程中字母系数的取值情况.判断根的情况时必须先将方程化为一般形式.\n返回子目录一元二次方程根与系数的关系（5年考2次）考向31.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为()A.-2B.1C.2D.02.已知α,β是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则α+β-αβ的值是()A.3B.1C.-1D.-3DB\n返回子目录3.设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2020=0的两个不等实根,则m2+m-n=()A.2019B.2020C.2021D.20224.一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为.5.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=10的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x2>2,则m的取值范围是.D213<m≤15\n返回子目录利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值时,要注意对代数式进行适当的变形,再运用整体代入的思想求解即可.\n返回子目录一元二次方程根的应用（5年考0次）考向41.(2021·河北模拟)中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2019年年收入为200美元,预计2021年年收入将达到1000美元,设2019年到2021年该地区居民人均收入平均增长率为x,可列方程为()A.200(1+2x)=1000B.200(1+x)2=1000C.200(1+x2)=1000D.200+2x=1000B\n返回子目录2.如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60平方米,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程是.(18-3x)(6-2x)=60\n3.(2021·原创题)如图,点阵M的层数用n表示,点数总和用S表示,当S=66时,则n=.返回子目录11\n4.如图,学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD,EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断.为了节约材料,场地的一边CD借助原有的一面墙,墙长为12米,长方形生物园ABCD的面积为45平方米,求长方形场地的边AB的长.返回子目录解:设AD长为x米,则AB长为(24-3x)米,根据题意得x(24-3x)=45,化简得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5.当x=3时,24-3x=15>12(不符合题意,舍去);当x=5时,24-3x=9.答:长方形场地的边AB的长为9米.\n返回子目录5.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2018年利润为2亿元,2020年利润为2.88亿元.(1)求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率;(2)若利润的年平均增长率不变,该企业2021年的利润能否超过3.4亿元?解:(1)设年利润平均增长率为x,依题意得2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),答:该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为20%.(2)2.88(1+20%)=3.456,3.456>3.4.答:该企业2021年的利润能超过3.4亿元.\n返回子目录6.(2021·石家庄模拟)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,我市某快递公司,今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同;(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率.(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?解:(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,依题意得10(1+x)2=12.1,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意舍去),∴x=0.1=10%.答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.\n返回子目录(2)今年11月份的快递投递任务是12.1(1+10%)=13.31(万件).∵平均每人每月最多可投递0.6万件,∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是0.6×21=12.6<13.31.∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年11月份的快递投递任务.至少要增加2名业务员.\n返回子目录一元二次方程的根通常有两个,在解决实际问题时,有时要根据具体情况进行取舍,通常舍掉负值的那个根.
