1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第14讲二次函数的图象和性质目录\n数据链接真题试做命题点1二次函数的图象与性质命题点2确定二次函数的解析式命题点3二次函数图象的变换\n二次函数的图象与性质命题点1返回子目录数据链接真题试做11.(2020·河北,15)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.C下列判断正确的是()A.乙错,丙对B.甲和乙都错C.乙对,丙错D.甲错,丙对\n返回子目录2.(2010·河北,11)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)D\n返回子目录3.(2012·河北,12)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC.其中正确的结论是()A.①②B.②③C.③④D.①④D\n返回子目录4.(2015·河北,25)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.\n返回子目录解:(1)把点B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得-(2-h)2+1=1,解得h=2,∴抛物线的解析式是y=-(x-2)2+1,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,1).(2)在y=-(x-h)2+1中,令x=0,解得y=-h2+1,即yC=-h2+1,∵-h2+1≤1,∴yC的最大值是1.此时点C的坐标是(0,1),把点C(0,1)代入y=-(x-h)2+1,得h=0,则函数的解析式是y=-x2+1,对称轴是y轴,开口向下,则当x1>x2≥0时,y1<y2.\n返回子目录(3)当OA被l分成1∶4两部分时,分点是(-1,0)或(-4,0).①当l经过点(-1,0)时,代入二次函数的解析式,得-(-1-h)2+1=0,解得h=0或-2.当h=0时,二次函数的对称轴是y轴,与x轴的交点是(-1,0)和(1,0),满足条件;当h=-2时,二次函数的对称轴是x=-2,与x轴的交点是(-1,0)和(-3,0),不满足条件.②当l经过点(-4,0)时,代入二次函数解析式,得-(-4-h)2+1=0,解得h=-3或-5.当h=-3时,二次函数的对称轴是x=-3,则二次函数与x轴的交点是(-4,0)和(-2,0),不满足条件;当h=-5时,二次函数的对称轴是x=-5,则二次函数与x轴的交点是(-4,0)和(-6,0),满足条件.综上所述,h的值是0或-5.\n确定二次函数的解析式命题点2返回子目录5.(2020·河北,23)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量.实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.(1)求W与x的函数关系式;(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.①求Q与x的函数关系式;②x为何值时,Q是W薄的3倍?【注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围】\n返回子目录解:(1)W=x2;(2)①Q=(6-x)2-x2=12-4x.②由题可知12-4x=3×x2,解得x1=2,x2=-6(舍去),∴当x=2时,Q是W薄的3倍.\n返回子目录6.(2014·河北,24)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.\n返回子目录解:(1)当n为奇数时,抛物线l的解析式为y=-x2+bx+c.分别把H(0,1),C(2,1)代入y=-x2+bx+c,得解得∴抛物线l的解析式为y=-x2+2x+1,点E(1,2)是抛物线l的顶点.(2)当n为偶数时,抛物线l的解析式为y=x2+bx+c.分别把点A(1,0),B(2,0)代入y=x2+bx+c,得解得∴抛物线l的解析式为y=x2-3x+2.当x=0时,y=2,∴点F(0,2)在抛物线y=x2-3x+2的图象上,点H(0,1)不在抛物线y=x2-3x+2的图象上.(3)所有满足条件的抛物线共有8条.\n二次函数图象的变换命题点3返回子目录7.(2013·河北,20)如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=.2\n数据聚焦考点梳理考点1二次函数的概念及解析式考点2二次函数的图象及其性质考点3二次函数图象的平移考点4二次函数与一元二次方程、不等式的关系\n二次函数的概念及解析式考点1返回子目录数据聚集考点梳理21.定义一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y是x的二次函数,其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.2.二次函数解析式的确定(1)求二次函数解析式一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数的解析式:①当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c的形式;\n返回子目录②当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k的形式;③当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两点式y=a(x-x1)(x-x2)的形式.(2)步骤:①设二次函数的解析式;②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出函数的解析式.(3)三种解析式之间的关系:\n二次函数的图象及其性质考点2返回子目录1.图象及性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象a>0a<0\n返回子目录对称轴直线x=①顶点坐标②增减性在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而增大,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x<-时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-时,y随x的增大而减小,简记为“左增右减”最值抛物线有最低点,且当③时,y有最小值,y最小值=抛物线有最高点,且当x=-时,y有最大值,y最大值=④-x=-续表\n返回子目录【易错提示】二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同的增减性,在顶点处有最大值或最小值,如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取值时,要依据其增减性而定.2.系数a,b,c与二次函数图象的关系项目字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上|a|越大,开口越小a<0⑤bb=0对称轴为⑥ab>0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab<0(b与a异号)对称轴在y轴右侧开口向下y轴\n返回子目录项目字母字母的符号图象的特征cc=0过⑦c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一公共点(顶点)b2-4ac>0与x轴有⑧公共点b2-4ac<0与x轴⑨公共点特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+c若a+b+c>0,即x=1时,y>0若a-b+c>0,即x=-1时,y>0续表原点两个不同的没有\n二次函数图象的平移考点3返回子目录1.平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.2.平移规律移动方向平移前的解析式平移后的解析式规律向左平移m个单位长度(m>0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右平移m个单位长度(m>0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右减\n返回子目录续表移动方向平移前的解析式平移后的解析式规律向上平移m个单位长度(m>0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下平移m个单位长度(m>0)y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k-m下减口诀:左加右减、上加下减\n二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点4返回子目录二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0无实数根\n返回子目录二次函数与不等式不等式ax2+bx+c>0的解集⇔函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围不等式ax2+bx+c<0的解集⇔函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围续表【规律总结】求二次函数图象与x轴的交点的方法:令y=0,解关于x的方程,最后把所得的数值写成坐标的形式.求二次函数图象与y轴交点的方法:令x=0,求出y的值,最后把所得的数值写成坐标的形式.\n数据剖析题型突破考向1二次函数的图象及性质考向2二次函数解析式的确定考向3二次函数与一元二次方程的关系\n二次函数的图象及性质（5年考2次）考向1返回子目录数据剖析题型突破31.(2021·秦皇岛模拟)如图,若a<0,b>0,c<0,则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为()B\n返回子目录2.(2021·石家庄新华区模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为()A.0B.-1C.1D.23.(2021·河北模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C.下列结论:①abc<0;②2a+b<0;③4a-2b+c>0;④3a+c>0,其中正确的结论个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个AB\n返回子目录4.(2021·河北模拟)如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,0),抛物线y=a(x-h)2+k过点C,顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上.若抛物线与线段AB无公共点,则k的取值范围是()A.0<k<2B.0<k<2或k>C.k>D.0<k<2或k>B\n返回子目录-1＜x＜35.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:x-3-2-1012y-12-50343利用二次函数的图象可知,当函数值y>0时,x的取值范围是.\n6.(2021·河北预测)如图,一段抛物线y=-x2+4x(0≤x≤4),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3……如此进行下去,直至得抛物线C2021,若点P(m,3)在第2021段抛物线C2021上,则m=.返回子目录8081或8083\n返回子目录抛物线的开口方向取决于a的符号;抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h,k);对称轴为直线x=h;增减性既要考虑开口方向,又要考虑是在对称轴的左边还是右边.\n二次函数解析式的确定（5年考1次）考向2返回子目录1.(2021·邯郸模拟)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+1C2.(2021·河北预测)求经过A(1,4),B(-2,1)两点,对称轴为x=-1的抛物线的解析式是.y=x2+2x+1\n返回子目录3.(2021·唐山模拟)如图,在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0).(1)求该二次函数的解析式;(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.\n返回子目录解:(1)∵二次函数图象的顶点为A(1,-4),∴设二次函数解析式为y=a(x-1)2-4,把点B(3,0)代入二次函数解析式,得0=4a-4,解得a=1,∴二次函数解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标为(3,0)和(-1,0),∴二次函数图象向右平移1个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点.故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,0).\n返回子目录D4.(2021·河北模拟)如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA,BC,求△ABC的面积.\n返回子目录解:(1)把A(2,0),B(0,-6)代入y=-x2+bx+c,得解得∴这个二次函数的解析式为y=-x2+4x-6.(2)∵该抛物线对称轴为直线x=-=4,∴点C的坐标为(4,0),∴AC=OC-OA=4-2=2,∴S△ABC=AC·OB=×2×6=6.\n返回子目录5.(2021·邯郸模拟)已知二次函数的图象经过点(0,-2),且当x=1时函数有最小值-3.(1)求这个二次函数的解析式;(2)如果点(-2,y1),(1,y2)和(3,y3)都在该函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小.解:(1)由题意知:抛物线的顶点坐标为(1,-3),设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3,由于抛物线过点(0,-2),则有a(0-1)2-3=-2,解得a=1,因此抛物线的解析式为y=(x-1)2-3.\n返回子目录(2)∵a=1>0,∴故抛物线的开口向上.∵抛物线的对称轴为x=1,∴(1,y2)为抛物线的顶点坐标,∴y2最小.由于(-2,y1)和(4,y1)关于对称轴对称,可以通过比较(4,y1)和(3,y3)来比较y1,y3的大小,∵在y轴的右侧是增函数,∴y1>y3.于是y2<y3<y1.求二次函数的解析式通常使用待定系数法,即首先根据题设条件,设出二次函数表达式,然后将条件代入所设表达式,列出方程(组),最后解这个方程(组),求出系数.\n二次函数与一元二次方程的关系（5年考0次）考向3返回子目录1.(2021·河北预测)如表是二次函数y=ax2+bx+c的几组对应值:x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04根据表中数据判断,方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是()A.6<x<6.17B.6.17<x<6.18C.6.18<x<6.19D.6.19<x<6.20C\n返回子目录2.(2021·河北模拟)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=a,x2=b(a<b),则二次函数y=x2+mx+n中,当y<0时,x的取值范围是()A.x<aB.x>bC.a<x<bD.x<a或x>b3.(2021·河北模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)和(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或4CB\n返回子目录4.(2021·唐山模拟)如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是.5.(2021·邯郸模拟)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解是.x1=1,x2=-2x1=1,x2=-3\n返回子目录抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.这里要注意两点:一是抛物线与x轴的交点的横坐标与方程解的联系,二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称.在已知抛物线的对称轴和其中一个交点的坐标时,根据对称性,可以便捷地求出另一个交点的坐标.\n返回子目录抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.这里要注意两点:一是抛物线与x轴的交点的横坐标与方程解的联系,二是与一元二次方程的这两个解对应的抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称.在已知抛物线的对称轴和其中一个交点的坐标时,根据对称性,可以便捷地求出另一个交点的坐标.
