课时训练14二次函数的图象与性质1限时：30分钟夯实基础1．二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )A．开口向上、顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下、顶点坐标为(1，4)C．开口向上、顶点坐标为(1，4)D．开口向下、顶点坐标为(－1，－4)2．[2022·宁波]抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．[2022·玉林]对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( )A．开口向下B．对称轴方程是x＝mC．最大值为0D．与y轴不相交4．点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y35．[2022·陕西]已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于原点O的对称点为M'，若点M'在这条抛物线上，则点M的坐标为( )A．(1，－5)B．(3，－13)C．(2，－8)D．(4，－20)6．[2022·南宁]将抛物线y＝12x2－6x＋21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )A．y＝12(x－8)2＋5B．y＝12(x－4)2＋5C．y＝12(x－8)2＋3D．y＝12(x－4)2＋37．已知二次函数y＝(x－2)2＋3，当x 时，y随x的增大而减小． 8．若二次函数y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴是直线x＝1，则m＝ ． 9\n9．已知抛物线y＝ax(x＋4)经过点A(5，9)和点B(m，9)，那么m＝ ． 10．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．11．[2022·杭州]在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0．(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．9\n能力提升12．抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是( )A．4B．6C．8D．1013．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( )A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤114．[2022·莱芜]如图K14－1，边长为2的正三角形ABC的边BC在直线l上，两条距离为1的平行直线a和b垂直于直线l，a和b同时向右移动(a的起始位置过B点)，速度均为每秒1个单位，运动时间为t(秒)，直到b过C点时停止，在a和b向右移动的过程中，记△ABC夹在a和b间的部分的面积为S，则S关于t的函数图象大致为( )图K14－19\n图K14－215．[2022·天津]已知抛物线y＝x2＋bx－3(b是常数)经过点A(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标．(2)P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．9\n拓展练习16．[2022·河南]如图K14－3①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ． 图K14－317．如图K14－4，抛物线y＝12x2＋bx－2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A(－1，0)．(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(3)点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM＋DM取得最小值时，求m的值．图K14－49\n参考答案1．A2．A [解析]∵y＝x2－2x＋m2＋2＝(x－1)2＋(m2＋1)，∴顶点坐标为(1，m2＋1)，∵1＞0，m2＋1＞0，∴顶点在第一象限．故选A．3．D [解析]对于函数y＝－2(x－m)2的图象，∵a＝－2＜0，∴开口向下，对称轴方程为x＝m，顶点坐标为(m，0)，函数有最大值0，故A，B，C正确，故选D．4．D5．C [解析]抛物线y＝x2－2mx－4的顶点为M(m，－m2－4)，点M关于原点O的对称点为M'(－m，m2＋4)，将点M'的坐标代入y＝x2－2mx－4得m＝±2，因为m＞0，所以m＝2．所以点M(2，－8)，故选C．6．D7．≤2 8．－2 9．－99\n10．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，∴－9＋3b＋c＝0，－1－b＋c＝0，解得b＝2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．11．解：(1)由题意知(1＋a)(1－a－1)＝－2，即a(a＋1)＝2，∵y1＝x2－x－a(a＋1)，∴y1＝x2－x－2．(2)由题意知，函数y1的图象与x轴交于点(－a，0)和(a＋1，0)．当y2的图象过点(－a，0)时，得a2－b＝0;当y2的图象过点(a＋1，0)时，得a2＋a＋b＝0．(3)由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝12，∴点Q(1，n)与(0，n)关于直线x＝12对称．∵函数y1的图象开口向上，∴若m＜n，则0＜x0＜1．12．A13．D14．B [解析]当0≤t≤1时，△ABC夹在a和b间的部分为三角形(如图①)，S＝12×t×3t＝32t2;当1＜t＜2时，△ABC夹在a和b间的部分为五边形(如图②)，S＝12×2×3-12×(t－1)×3(t－1)-12×(2－t)×3(2－t)＝3-32(t－1)2-32(2－t)2＝-3t2＋33t-332;当2≤t≤3时，△ABC夹在a和b间的部分为三角形(如图③)，S＝12×[2－(t－1)]×3[2－(t－1)]＝32t2－33t＋932．故答案为B．15．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx－3经过点A(－1，0)，∴0＝1－b－3，解得b＝－2．∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．9\n∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)．(2)①由点P(m，t)在抛物线y＝x2－2x－3上，得t＝m2－2m－3．∵P关于原点的对称点为P'，∴P'(－m，－t)．∵P'在抛物线上，∴－t＝(－m)2－2(－m)－3，即t＝－m2－2m＋3，∴m2－2m－3＝－m2－2m＋3，解得m1＝3，m2＝-3．②由题意知，P'(－m，－t)在第二象限，∴－m＜0，－t＞0，即m＞0，t＜0．又∵抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标为(1，－4)，得－4≤t＜0．过点P'作P'H⊥x轴于H，则H(－m，0)．又A(－1，0)，t＝m2－2m－3，∴P'H2＝t2，AH2＝(－m＋1)2＝m2－2m＋1＝t＋4．当点A和H不重合时，在Rt△P'AH中，P'A2＝P'H2＋AH2，当点A和H重合时，AH＝0，P'A2＝P'H2，符合上式．∴P'A2＝P'H2＋AH2，即P'A2＝t2＋t＋4(－4≤t＜0)，记y'＝t2＋t＋4(－4≤t＜0)，则y'＝t＋122＋154，∴当t＝-12时，y'取得最小值．把t＝-12代入t＝m2－2m－3，得-12＝m2－2m－3，解得m1＝2－142，m2＝2＋142．由m＞0，可知m＝2－142不符合题意，∴m＝2＋142．16．12 [解析]观察图象，可以获得以下信息：①点P在由B→C的运动过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为正比例函数，表现在图象上应该是一条线段;②点P在由C→A的运动过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为先减小后增大;③当BP⊥AC时，BP的长度最短，反映在图象上应为最低点M;④当P到达A点时，此时BP＝5，∴AB＝BC＝5，AC边上的高为4．当BP⊥AC时，由勾股定理可得AP＝CP＝52－42＝3，∴AC＝6，∴S△ABC＝12×4×6＝12．17．解：(1)∵点A(－1，0)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴12×(－1)2＋b×(－1)－2＝0，解得b＝-32，∴抛物线的表达式为y＝12x2-32x－2．9\n∵y＝12x2-32x－2＝12(x2－3x－4)＝12x-322-258，∴顶点D的坐标为32，-258．(2)△ABC是直角三角形．证明：当x＝0时，y＝－2，∴C(0，－2)，OC＝2．当y＝0时，12x2-32x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．∵AB2＝25，AC2＝OA2＋OC2＝5，BC2＝OC2＋OB2＝20，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．(3)作点C关于x轴的对称点C'，则C'(0，2)，OC'＝2，连接C'D交x轴于点M，根据对称性及两点之间线段最短可知，此时CM＋DM的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC'M＝∠EDM，∠C'OM＝∠DEM＝90°，∴△C'OM∽△DEM，∴OMEM＝OC'ED，即m32－m＝2258，∴m＝2441．解法二：设直线C'D的函数表达式为y＝kx＋n，则n＝2，32k＋n＝－258，解得n＝2，k＝－4112，∴直线C'D的函数表达式为y＝-4112x＋2．当y＝0时，-4112x＋2＝0，解得x＝2441，∴m＝2441．9
