类型一新定义型专题八阅读理解目录类型二阅读解题过程或思路解决问题\n新定义型一阅读理解型问题一般文字叙述较长,信息量较大,各种关系错综复杂,往往是先给一个材料,或介绍一个新的知识点,或给出针对某一种题目的解法,然后再结合条件出题.解决这类题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含的数学知识、结论,或揭示的数学规律,或暗示的解题方法,然后展开联想,将从题目给定的材料中获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.题型讲解\n方法点拨正确理解新定义,并将此定义作为解题依据,同时要熟练掌握教材中的基本概念和性质.解答阅读理解型问题的基本模式:阅读—理解—应用.重点是阅读,难点是理解,关键是应用.阅读时要理解材料的脉络,要对提供的文字、符号、图形等进行分析,在理解的基础上迅速整理信息,及时归纳要点,挖掘其中隐含的数学思想方法,运用类比、转化、迁移等方法,构建相应的数学模式或把要解决的问题转化为常规问题.解题技巧\n阅读理解:a,b,c,d是实数,我们把符号称为2×2行列式,并且规定:=a×d-b×c.例如,=3×(-2)-2×(-1)=-6+2=-4.二元一次方程组的解可以利用利用2×2阶行列式表示为其中D=,Dx=,Dy=.例题1问题:对于用上面的方法解二元一次方程组时,下面说法错误的是()A.D==-7B.Dx=-14C.Dy=27D.方程组的解为\n分析：选通过阅读理解新定义的意义,再按新定义的要求分别计算出D,Dx,Dy和方程组的解.解析：∵∴D===2×(-2)-3×1=-7,Dx===1×(-2)-1×12=-14,Dy===2×12-1×3=21.∵∴方程组的解为∴说法错误的是C,故选C.答案：C【高分点拨】需要学生先通过阅读掌握新定义公式,再利用类似方法解决问题.考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.\n当堂检测1规定:[x]表示不大于x的最大整数,(x)表示不小于x的最小整数,[x)表示最接近x的整数.例如:[2.3]=2,(2.3)=3,[2.3)=2.按此规定:[1.7]+(1.7)+[1.7)=.答案:5解析:根据题意可知[1.7]=1,(1.7)=2,[1.7)=2,则[1.7]+(1.7)+[1.7)=1+2+2=5.\n阅读解题过程或思路解决问题二该题型以范例的形式给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以思路技巧为载体设置类似的问题.正误辨析型阅读理解题抓住学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非.题型讲解\n方法点拨解决这类问题常用的数学思想方法是类比和转化.读懂材料、扎实的基本功是解决问题的关键所在.解决这类阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中展示了怎样的新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.解题技巧\n宽与长的比是(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美.各国许多著名的建筑,为了取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)例题2第一步,在矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把它折到图③中所示的AD处.第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.\n问题解决:(1)图③中AB=cm(保留根号);(2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.\n实际操作:(4)结合图④,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.分析：(1)连接AB,由折叠的性质,可得AC=1,在Rt△ABC中,利用勾股定理可求出AB的长度;(2)先证明四边形BADQ是平行四边形,再进而证明它是菱形;(3)通过计算,观察图④中哪个矩形的宽与长的比是,选择其中一个给出证明;(4)在矩形BCDE中,已知CD=BE=-1,添加宽,使矩形的宽与长的比是.\n解析：(1)由折叠知,四边形MNCB是正方形,∴BC=MN=2,AC=1,∴AB===.故答案为.(2)∵矩形纸片,∴∠BQA=∠QAD,由折叠,得∠BAQ=∠QAD,AB=AD,∴∠BQA=∠BAQ,∴BQ=AB,∴BQ=AD.又∵BQ∥AD,∴四边形BADQ是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形BADQ是菱形.\n(3)图④中的黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.矩形BCDE是黄金矩形,理由如下:∵AD=AB=,AN=AC=1,∴CD=AD-AC=-1.又∵BC=2,∴=,∴矩形BCDE是黄金矩形.(4)如图⑤,在矩形BCDE上添加线段GH,使四边形GCDH为正方形,则矩形BGHE为所要作的黄金矩形.矩形较长的边GH=-1,宽HE=3-.\n【高分点拨】本题主要考查了折叠的性质、特殊的四边形及勾股定理的应用,在(4)题的矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形时,找出添加线段GH,使四边形GCDH为正方形是关键.当堂检测2利用如图①的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统,图②是某个学生的识别图案,阴影部分的小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a×23+b×22+c×21+d×20,如图②第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5,表示该生为5班学生.表示6班学生的识别图案是()\n图①图②\n答案:B解析:A.第一行数字从左到右依次为1,0,1,0,序号为1×23+0×22+1×21+0×20=10,不符合题意;B.第一行数字从左到右依次为0,1,1,0,序号为0×23+1×22+1×21+0×20=6,符合题意;C.第一行数字从左到右依次为1,0,0,1,序号为1×23+0×22+0×21+1×20=9,不符合题意;D.第一行数字从左到右依次为0,1,1,1,序号为0×23+1×22+1×21+1×20=7,不符合题意.故选B.\n1.答案:C解析:根据题目中的约定关于k的函数f(k)=-(k是正整数),f(1)=-=0-0=0,选项A正确;f(k+4)=-=-=-=f(k),选项B正确,选项C不正确.由此也可得选项D正确.专题八高效测评1.(2020·河北预测)已知:[x]表示不超过x的最大整数.例:[3.9]=3,[-1.8]=-2.令关于k的函数f(k)=-(k是正整数).例:f(3)=-=1.则下列结论错误的是()A.f(1)=0B.f(k+4)=f(k)C.f(k+4)≥f(k)D.f(k)=0或1\n2.定义一种对正整数n的“F”运算:①当n是奇数时,F(n)=3n+1;②当n为偶数时,F(n)=(其中k是使为奇数的正整数),两种运算交替重复进行.例如,取n=24,则:…,若n=13,则第2021次“F”运算的结果是()A.1B.4C.2020D.22021\n2.答案:B解析:根据题意,得第一次:当n=13时,F①=3×13+1=40,第二次:当n=40时,F②==5,第三次:当n=5时,F①=3×5+1=16,第四次:当n=16时,F②==1,第五次:当n=1时,F①=3×1+1=4,第六次:当n=4时,F②==1,……从第四次开始,每2次运算为一个循环,∵(2021-3)÷2=1009,∴第2021次“F”运算的结果是4.故选B.\n3.根据下列材料,解答问题.等比数列求和:概念:对于一列数a1,a2,a3,…,an(n为正整数),若从第二个数开始,每一个数与前一个数的比为一定值,即=q(常数),那么这一列数a1,a2,a3,…,an成等比数列,这一常数q叫做该数列的公比.例:求等比数列1,3,32,33,…,3100的和.解:令S=1+3+32+33+…+3100,则3S=3+32+33+…+3100+3101,因此3S-S=3101-1,所以S=,即1+3+32+33+…+3100=.仿照例题,等比数列1,5,52,53,…,52021的和为.\n3.答案:解析:令S=1+5+52+53+…+52021,则5S=5+52+53+…+52021+52022,∴5S-S=52022-1,∴S=,即1+5+52+53+…+52021=.\n4.(2020·深圳模拟)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形.如图,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心,以任意长为半径作,再分别以点A和点D为圆心,大于AD长为半径作弧,交EF于点B,AB∥CD.(1)求证:四边形ACDB为△FEC的亲密菱形;(2)求四边形ACDB的面积.\n解:(1)证明:由已知,得AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹,得BC是∠FCE的平分线,则∠ACB=∠DCB,又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB.又∵AC=CD,AB=DB,∴AC=CD=DB=AB,∴四边形ACDB是菱形.∵∠ACD与△FCE中∠FCE重合,它的对角∠ABD顶点在EF上,∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.\n(2)设菱形ACDB的边长为x,可证△FAB∽△FCE,则=,即=,解得x=4,如图,过点A作AH⊥CD于点H,在Rt△ACH中,∠ACH=45°,∴AH==2.∴四边形ACDB的面积为4×2=8.\n5.(2021·常州模拟)阅读材料:各类方程的解法求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似地,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.\n(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=,x3=;(2)拓展:用“转化”思想求方程=x的解;(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD,DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.\n解:(1)x3+x2-2x=0,x(x2+x-2)=0,x(x+2)(x-1)=0,∴x=0或x+2=0或x-1=0,∴x1=0,x2=-2,x3=1.故答案为-2,1.(2)=x,方程的两边平方,得2x+3=x2,即x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,∴x-3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=-1,当x=-1时,==1≠-1,∴-1不是原方程的解.∴方程=x的解是x=3.\n(3)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=CD=3m.设AP=xm,则PD=(8-x)m,∵BP+CP=10,BP=,CP=,∴+=10,∴=10-,两边平方,得(8-x)2+9=100-20+9+x2,整理,得5=4x+9,两边平方并整理,得x2-8x+16=0,即(x-4)2=0,∴x=4.经检验,x=4是方程的解.答:AP的长为4m.\n6.(2021·金华一模)阅读理解:如图,在平面直角坐标系xOy中,点A与点B的坐标分别是(-1,0),(-7,0).(1)对于坐标平面内的一点P,给出如下定义:如果∠APB=45°,则称点P为线段AB的“等角点”.显然,线段AB的“等角点”有无数个,且A,B,P三点共圆.①设A,B,P三点所在圆的圆心为C,直接写出点C的坐标和☉C的半径;②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”?如果有,求出“等角点”的坐标;如果没有,请说明理由.(2)当点P在y轴正半轴上运动时,∠APB是否有最大值?如果有,说明此时∠APB最大的理由,并求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.\n解:(1)①如图1,在x轴的上方,作以AB为斜边的等腰直角三角形ACB,易知点A,B,P在☉C上,连接CA,CB,过点C作CH⊥x轴于点H,∵CA=CB,∴∠ACH=90°÷2=45°.∵A(-1,0),B(-7,0),∴AB=6,由垂径定理可得,AH=AB÷2=3=CH,∴OH=4,CA=3,∴C(-4,3),半径为3,由对称性可知,点(-4,-3)也满足条件.\n②y轴的正半轴上存在线段AB的“等角点”.如图2,当圆心为C(-4,3)时,过点C作CD⊥y轴于点D,则D(0,3),CD=4,∵☉C的半径为3>4,∴☉C与y轴相交,设交点为P1,P2,连接CP1,CP2,CA,则CP1=CP2=CA=3,∵CD⊥y轴,CD=4,CP1=3,∴DP1===DP2,∴P1(0,3+),P2(0,3-).\n(2)当过A,B的圆与y轴相切于点P时,∠APB最大.理由如下:如果点P在y轴的正半轴上,如图3,设此时圆心为E,则E在第三象限,在y轴的正半轴上任意取一点M(不与点P重合),连接MA,MB,PA,PB,设MB交☉E于点N,连接NA,∵点P,N在☉E上,∴∠APB=∠ANB.∵∠ANB是△MAN的外角,∴∠ANB>∠AMB,即∠APB>∠AMB,此时,过点E作EF⊥x轴于点F,连接EA,EP,则AF=AB=3,OF=4,∵☉E与y轴相切于点P,则EP⊥y轴,∴四边形OPEF是矩形,OP=EF,PE=OF=4,∴☉E的半径为4,即EA=4,∴在Rt△AEF中,EF===,∴OP=,∴P(0,).\n7.(2020·重庆渝中模拟)对于任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称n为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”;并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数,请说明理由;(2)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方,则称正整数a是完全平方数.若四位数m为“极数”,记D(m)=.求满足D(m)是完全平方数的所有m.\n(1)不唯一,如1188,2475,9900等,猜想任意一个“极数”是99的倍数.理由如下:设任意一个“极数”为xy(9-x)(9-y)=1000x+100y+10(9-x)+(9-y)=1000x+100y+90-10x+9-y=990x+99y+99=99(10x+y+1),∵x,y为整数,∴(10x+y+1)为整数,则任意一个“极数”是99的倍数.\n(2)设m=xy(9-x)(9-y)(其中1≤x≤9,0≤y≤9,且x,y为整数),则由题意,得D(m)==3(10x+y+1),∵1≤x≤9,0≤y≤9,∴33≤3(10x+y+1)≤300.∵D(m)为完全平方数且为3的倍数,∴D(m)可取36,81,144,225.①D(m)=36时,3(10x+y+1)=36,10x+y+1=12,x=1,y=1,m=1188;\n②D(m)=81时,3(10x+y+1)=81,10x+y+1=27,x=2,y=6,m=2673;③D(m)=144时,3(10x+y+1)=144,10x+y+1=48,x=4,y=7,m=4752;④D(m)=225时,3(10x+y+1)=225,10x+y+1=75,x=7,y=4,m=7425.综上所述,满足D(m)为完全平方数的m的值为1188,2673,4752,7425.\n8.(2020·杭州模拟)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形;(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.\n解:(1)或或.(2)如图1,∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD.又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA.∴=,即CA2=BC·AD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∴∠ADB=∠ABD.∴AB=AD.∴CA2=BC·AB.∴△ABC是比例三角形.\n(3)如图2,过点A作AH⊥BD于点H.∵AB=AD,∴BH=BD.∵AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠BHA=∠BCD=90°.又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC.∴=.∴AB·BC=DB·BH.∴AB·BC=BD2.又∵AB·BC=AC2.∴BD2=AC2.∴=.
