专题四 阅读理解型问题⊙热点一：阅读试题所提供新定义、新定理，解决新问题1．(2022年贵州黔西南州)在平面直角坐标系中，对于平面内的任意一点(m，n)，规定以下两种变化：①f(m，n)＝(m，－n)，如f(2,1)＝(2，－1)；②g(m，n)＝(－m，－n)，如g(2,1)＝(－2，－1)，按照以上变换有：f[g(3,4)]＝f(－3，－4)＝(－3,4)，那么g[f(－3,2)]＝________.2．(2022年甘肃兰州)给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图Z44，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE.已知∠DCB＝30°，求证：①△BCE是等边三角形；②DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．图Z44⊙热点二：阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法(2022年浙江温州)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图Z45或图Z46所示摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图Z45证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图Z45所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.证明：连接DB，DC，过点D作BC边上的高DF，交BC延长线于点F，DF＝EC＝b－a.∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b2＋ab，又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c2＋a(b－a)，∴b2＋ab＝c2＋a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.6\n图Z45 图Z46请参照上述证法，利用图Z46完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图Z46所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.证明：连接________________________________________________________．∵S五边形ACBED＝_____________________________________________________，又∵S五边形ACBED＝_________________________________________________________，∴___________________________________________________________.∴a2＋b2＝c2.⊙热点三：阅读试题信息，借助已有方法或通过归纳探索解决新问题1．(2022年广东湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝________；①sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝________；②sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝________.③……观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________.④(1)如图Z47，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；(2)已知∠A为锐角(cosA＞0)，且sinA＝，求cosA的值．图Z472．(2022年山东临沂)问题情境：如图Z48，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.探究展示：(1)证明：AM＝AD＋MC；(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．拓展延伸：(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图Z49，探究展示(1)，(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．6\n图Z48 图Z496\n专题四 阅读理解型问题【提升·专项训练】热点一1．(3,2)2．(1)解：正方形、矩形、直角梯形(任写两个)．(2)证明：①∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形．②∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE.∵△BCE是等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°.∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.∴在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.∴DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．热点二解法一：如图94，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE延长线于点F，则BF＝b－a.图94∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝ab＋b2＋ab，又S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，∴ab＋b2＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.解法二：如图94，连接BD，过点B作DE边上的高BF，交DE延长线于点F，则BF＝b－a.∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝b(a＋b)＋ab，又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c2＋a(b－a)，∴b(a＋b)＋ab＝ab＋c2＋a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.热点三1．解：①1 ②1 ③1 ④1(1)如图95，过点B作BD⊥AC于点D，6\n图95则∠ADB＝90°.∵sinA＝，cosA＝，∴sin2A＋cos2A＝2＋2＝.∵∠ADB＝90°，∴BD2＋AD2＝AB2.∴sin2A＋cos2A＝1.(2)∵sinA＝，sin2A＋cos2A＝1，∠A为锐角，∴cosA＝＝.2．证明：(1)延长AE，BC交于点N，如图96.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠DAE＝∠ENC.∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE.∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN.图96在△ADE和△NCE中，∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC.(2)AM＝DE＋BM成立.过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图97.图97∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC.∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE.在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF＝DE，∠F＝∠AED.∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.6\n∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM.∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM.(3)(1)成立；(2)不成立．6
