类型一整体思想专题九数学思想与方法目录类型二转化思想类型三方程思想类型四分类讨论思想类型五建模思想,整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式包括：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面,整体思想都有很好的应用,因此,每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题,尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用.整体思想一题型讲解,整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得以解决.整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.整体思想一方法点拨解题技巧,若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.分析：将原式因式分解,再把已知等式的值代入计算即可求出结果.解析：a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-3×22=-12.【高分点拨】对于考查代数式求值的问题,如果代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设条件中,首先应将所需求值的代数式进行同类项的合并,或者进行因式分解,再将相同的项或因式的值整体代入即可求出代数式的值.已知a-3b=3,则6b+2(4-a)的值是.解析：∵a-3b=3,∴原式=6b+8-2a=-2(a-3b)+8=-6+8=2.返回主目录例题1-12当堂检测12,转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质,在遇到较复杂的问题时,能够辩证地分析问题,通过一定的策略和手段,使复杂的问题简单化,陌生的问题熟悉化,抽象的问题具体化.转化的内涵非常丰富,比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系,把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息.返回主目录转化思想二题型讲解方法点拨,利用转化思想解决问题,常常涉及对已知与未知、数量与图形、图形与图形之间的转化,通过这些元素之间的转化来解决问题.返回主目录解题技巧转化思想二,如图,某校教学楼的后面紧邻着一个土坡,坡上面是一块平地,BC∥AD,斜坡AB的长为22m,坡角∠BAD=68.为了防止山体滑坡,保障安全,学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50时,可确保山体不滑坡.(1)求改造前坡顶与地面的距离；分析：过点B作BE⊥AD于点E,改造前坡顶与地面的距离就是BE的长.在直角三角形中利用正弦的定义可得sin∠BAE=,即可求得BE的长.返回主目录例题2,解析：如图,过点B作BE⊥AD于点E,则在Rt△ABE中,sin∠BAE=，BE=AB·sin68=22sin68≈20.4(m).(2)为确保安全,学校计划改造时保持坡脚A不动,坡顶B沿BC改到点F处,则BF至少是多少？(结果保留小数点后一位,参考数据：sin68≈0.9272,cos68≈0.3746,tan68≈2.4751,sin50≈0.7660,cos50≈0.6428,tan50≈1.1918)分析：要求BF的长,构造矩形BFGE,得到FG=BE,要求BF的长只需求AG和AE的长,利用直角三角形的边角关系,求得即可.解析：如图,过点F作FG⊥AD于点G,连接FA,则FG=BE.∴AG=≈17.12(m),AE=AB·cos68=22cos68≈8.24(m).∴BF=GE=AG-AE=8.88≈8.9(m).返回主目录,【高分点拨】本题中的转化思想主要体现在把实际的测量问题转化为数学问题、把斜三角形问题转化为直角三角形问题,此类题型属中考常考题型.返回主目录,如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A.13cmB.2cmC.cmD.2cm返回主目录当堂检测2A,解析：∵高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3cm的点A处,如图,将容器侧面展开,作点A关于EF的对称点A',∴A'D=5cm,BD=12-3+AE=12(cm).连接A'B,则A'B即为最短距离,A'B===13(cm).返回主目录,方程思想要求我们将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设未知数建立起方程(组),然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式.揭示题目中隐含的等量关系,设未知数、构造方程,建立已知与未知的联系,从而使问题得到解决.返回主目录方程思想三题型讲解方法点拨,在几何计算中,常利用几何中的定理、公式,如勾股定理、垂径定理、三角函数关系等作为等量关系来构造方程,或利用图形中的某些位置关系所隐含的等量关系来构造方程.返回主目录方程思想三解题技巧,如图,在Rt△ABC中,∠C=90,AC=6cm,BC=8cm.将Rt△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,求CD的长.分析：设CD=xcm,则AD=(8-x)cm,再根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.解析：由折叠的性质可知,AD=BD.设CD=xcm,则AD=BD=(8-x)cm.在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2+CD2=AD2,即62+x2=(8-x)2,解方程,得x=1.75.故CD的长为1.75cm.【高分点拨】熟练掌握折叠变换的性质,运用勾股定理列出方程进行计算是关键.返回主目录例题3,如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在E处,BE与CD相交于F.(1)求证：△EDF≌△CBF；证明：∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD.根据折叠的对称性可知AD=DE,∴DE=BC.又∵∠E=∠C=90,∠DFE=∠BFC,∴△EDF≌△CBF(AAS).返回主目录当堂检测3,(2)若AD=2,BD=4,求∠EBC的大小及CF的长.解：∵在Rt△BDC中,BD=4,BC=AD=2,∴∠BDC=30.∵△EDF≌△CBF,∴BF=DF,∴∠DBF=∠FDB=30.根据折叠的对称性可得∠ABD=∠DBE=30,∴∠EBC=90-30-30=30.在Rt△BCF中,tan∠FBC=,即=,解得CF=.返回主目录,当数学问题不能用统一方法处理时,我们可以依据研究对象性质的差异,按照一定的分类方法或标准将问题分为全而不重、广而不漏的若干类,然后逐类分别讨论,再把结论汇总得到问题的答案.分类讨论题型常与开放探究问题结合在一起,当题目条件给得不明确时,或者情况不唯一时,都需要根据条件分类解决.返回主目录分类讨论思想四题型讲解方法点拨,在解答分类讨论问题时,首先确定讨论对象的取值范围；其次确定分类标准,做到不重不漏；再对所分的类逐步进行讨论；最后进行归纳小结,综合得出结论.返回主目录解题技巧分类讨论思想四,如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,则点P的坐标是.分析：点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,需要分三种情况进行讨论.解析：由题意可知,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,有三种情况：(1)如图①,PD=OD=5,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理可得DE===3,∴OE=OD-DE=5-3=2,∴点P的坐标为(2,4).返回主目录例题4(2,4)或(3,4)或(8,4),(2)如图②,OP=OD=5,过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理可得OE===3,∴点P的坐标为(3,4).(3)如图③,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理可得DE===3,∴OE=OD+DE=5+3=8,∴点P的坐标为(8,4).【高分点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和分类讨论思想的应用,理解符合题意的等腰三角形有三种不同的情形,注意不要遗漏.返回主目录,如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=16,BD=20.一动点P从B向D运动,问当BP等于多少时,△ABP与△PCD是相似三角形？解：设BP=x,∴PD=20-x.若△PAB∽△PCD,有=,∴=.∴x=,即BP=；若△PAB∽△CPD,有=,∴=,即(20-x)x=96.整理,得(x-12)(x-8)=0,∴x=8或x=12,即BP=8或BP=12.综上,当BP等于或8或12时,△ABP与△PCD是相似三角形.返回主目录当堂检测4,从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等,表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义.把所考察的实际问题转化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究使实际问题得以解决.返回主目录建模思想五题型讲解方法点拨,将具体问题数学化是建模的关键,也就是将具体问题中的量首先用字母表示出来,再根据式子所符合的具体数学问题,运用相关的知识进行求解.返回主目录建模思想五解题技巧,跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.(1)当身高为1.5m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的解析式；返回主目录例题5,分析：由题意知抛物线过(4,0)和(1,0.5),用待定系数法可求解析式.解析：设抛物线的解析式为y=ax2+bx(a≠0),∵1.5-1=0.5,∴抛物线经过点(4,0)和(1,0.5),∴解得∴绳子对应的抛物线的解析式为y=-x2+x.返回主目录,(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗？请说明理由；分析：小丽距原点的距离为4-1.5=2.5(m),代入抛物线的解析式求出y值,再与1.65比较即可判断.解析：绳子能碰到小丽的头.理由如下：∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处,∴小丽距原点4-1.5=2.5(m),∴当x=2.5时,y=-×2.52+×2.5=0.625.∵1+0.625=1.625＜1.65,∴绳子能碰到小丽的头.返回主目录,②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据：取3.16)分析：把y=1.65-1=0.65代入抛物线解析式,求出x的值,即可得出d的范围.解析：∵1.65-1=0.65,∴当y=0.65时,0.65=-x2+x,即10x2-40x+39=0,解得x=,∵取3.16,∴x1=2.316,x2=1.684,∴4-2.316=1.684,4-1.684=2.316,∴1.684＜d＜2.316.【高分点拨】应用二次函数的解析式由自变量求函数值,由函数值确定自变量等知判定实际问题,关键是确定抛物线上点的坐标,和应用二次函数解析式解决实际问题.返回主目录,(2020·市南区校级二模)在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB,CD,以点B为坐标原点,直线BD为x轴建立平面直角坐标系,得到图①.已知电线杆之间电线的形状可近似地看成抛物线y=0.1x2-0.8x+3.(1)求电线最低点离地面的距离；解：∵0.1＞0,∴抛物线的顶点为最低点.由题意y=0.1x2-0.8x+3化为顶点式为y=0.1(x-4)2+1.4,∴电线最低点离地面的距离为1.4米.答：电线最低点离地面的距离为1.4米.返回主目录当堂检测5图①,(2)因实际需要,电力公司需要在BD之间增设一根电线杆.①若将电线杆MN增设在距离AB为3米处(如图②),使左边抛物线的最低点离MN为1米,离地面1.8米,求MN的长；解：∵y=0.1x2-0.8x+3,∴A(0,3).由题意得,抛物线F1的顶点坐标为(2,1.8).设F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8(a≠0),将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3,∴抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8.当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1.∴MN的长为2.1米.返回主目录图②,②若将一根长为3米的电线杆MN增设在线段BD之间的位置上(如图③),使右边抛物线F2的二次项系数始终是0.25,设电线杆MN距离AB为m米,抛物线F2的最低点离地面的距离为k米,当4≤m≤6时,k的取值范围是.解：∵AB=MN=CD=3米,∴右边抛物线F2的顶点一定在MD的垂直平分线上.∵y=0.1x2-0.8x+3=3,∴x1=0或x2=8.∴BD=8米.返回主目录2≤k≤2.75图③,因此右边抛物线F2的顶点的横坐标为+m=4+m,设顶点坐标为,∴右边抛物线F2的关系式为y=0.25+k,把点C(8,3)代入,3=0.25+k,即k=3-0.25,当m=4时,k=3-1=2；当m=6时,k=3-0.25=2.75.∴当4≤m≤6时,k的取值范围是2≤k≤2.75.故答案为2≤k≤2.75.返回主目录,专题九高效测评1.(2021·河北模拟)如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕一逆时针方向旋转40得到△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积为()A.π-6B.33+πC.π-3D.π返回主目录D,2.(2021·河北模拟)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是()A.2≤k≤B.6≤k≤10C.2≤k≤6D.2≤k≤返回主目录A,3.(2020·河北模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值是.解析：如图,设点P到AB的距离是h,则AB·h=AB·AD,即×4h=×4×3,∴h=2,可见点P是直线EF(EF∥AB,且EF与AB间的距离是2)上的动点.作点B关于EF的对称点B',连接AB'交EF于点P,则此时PA+PB的值最小,最小值=AB'==4.返回主目录4,4.(2020·镇江模拟)如图,点E,F,G分别在菱形ABCD的边AB,BC,AD上,AE=AB,CF=CB,AG=AD.已知△EFG的面积等于6,则菱形ABCD的面积等于.解析：如图,在边CD上取点H,使CH=CD,连接FH,GH,AC,BD,AC与BD相交于点O,AC交EG于点P,BD交EF于点Q,则由对称性可知,四边形EFGH是平行四边形,且EG∥BD∥FH,EF∥AC∥GH,点O在FG上,返回主目录27,S四边形OPEQ=2S△OPG=2S△OFQ.∵△EFG的面积为6,∴S△OPG=S△OFQ=,S四边形OPEQ=3.∵EP∥OB,设S△AEP=x.∴===,即S△AOB=9x.同理S△BQE=S△AOB=4x,∴S四边形OPEQ=9x-x-4x=4x=3,解得x=,∴S△AOB=9×=,∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×=27.返回主目录,5.(2021·定兴模拟)如图,在△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD为边AB的高,点A在x轴上,点B在y轴上,点C在第一象限,若A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,则点B随之沿y轴下滑,并带动△ABC在平面内滑动,设运动时间为t秒,当B到达原点时停止运动.(1)连接OC,线段OC的长随t的变化而变化,当OC最大时,t=；解析：∵BC=AC=5,AB=8,CD⊥AB,∴BD=4=AD,∴由勾股定理得CD=3.返回主目录4,∵AD=BD,∠AOB=90,∴OD=AB=4.∵在△OCD中,OC＜OD+DC,∴当O,D,C三点共线时,OC值最大,即OD⊥AB.∵AD=BD,DO⊥AB,∴BO=AO,且AB=8,∴AO=BO=4,且点A的速度为每秒1个单位长度,∴t==4.返回主目录,(2)当△ABC的边与坐标轴平行时,t=.解析：若BC∥x轴,∴∠CBA=∠BAO且∠CDB=∠AOB,∴△BDC∽△AOB,∴=,即=,∴t=.若AC∥y轴,∴∠CAB=∠ABO且∠CDA=∠AOB,∴△ACD∽△BAO,∴=,即=.∴t=.∴当t=或时,△ABC的边与坐标轴平行.返回主目录或,6.(2020·成都模拟)如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的解析式；解：把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c,得解得∴二次函数的表达式为y=x2-4x+3.(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；解：令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴B(3,0),∴BC=3,返回主目录,点P在y轴上,当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,①当CP=CB时,PC=3,∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC-OC=3-3,∴P1(0,3+3),P2(0,3-3)；②当BP=BC时,OP=OB=3,∴P3(0,-3)；③当PB=PC时,∵OC=OB=3,∴此时点P与原点O重合,∴P4(0,0).综上所述,点P的坐标为(0,3+3)或(0,3-3)或(0,-3)或(0,0).返回主目录,(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M,N同时停止运动,问点M,N运动到何处时,△MNB面积最大？试求出最大面积.解：如图2,设A运动时间为t,由AB=2,得BM=2-t,则DN=2t,∴S△MNB=×(2-t)×2t=-t2+2t=-(t-1)2+1,∴当t=1时,△MNB取最大值,为1,即当M(2,0),N(2,2)或(2,-2)时,△MNB面积最大,最大面积是1.返回主目录,7.(2020·广州模拟)已知Rt△OAB,∠OAB=90,∠ABO=30,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60得到△ODC,如图1,连接BC,(1)填空：∠OBC=；解：由旋转性质,知OB=OC,∠BOC=60,∴△OBC是等边三角形,∴∠OBC=60.返回主目录60,(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为点P,求OP的长度；解：∵OB=4,∠OAB=90,∠ABO=30,∴OA=OB·sin∠ABO=4×=2,AB=OB·cos∠ABO=4×=2,∴S△AOC=OA·AB=×2×2=2,∵由(1)知△BOC是等边三角形,∴∠OBC=60,BC=OB=4.∵∠ABO=30,由(1)知∠OBC=60,∴∠ABC=90,∴AC===2,∴OP===.返回主目录,(3)如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为每秒1.5个单位长度,点N的运动速度为每秒1个单位长度.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号)解：由于4×3÷(1+1.5)=4.8,故运动4.8秒后,M,N两点相遇,同时停止运动.①当0＜x≤时,点M在OC上运动,点N在OB上运动,此时过点N作NE⊥OC,交OC于点E,如图1,∴NE=ON·sin60=x,返回主目录,∴S△OMN=OM·NE=×1.5x×x=x2,∴y=x2,∴当x=时,y取得最大值,最大值为；②当x≤4时,点M在BC上,点N在OB上,过点M作MH⊥OB于点H,如图2,∴BM=8-1.5x,MH=BM·sin60=×,∴S△OMN=ON·MH=x××=-x2+2x,∴y=-x2+2x,当x=时,y取得最大值,所以y的最大值=-×+2×=；返回主目录,③当4≤x≤4.8时,M,N同时在BC上,过O作OG⊥BC,如图3,∴MN=12-2.5x,OG=AB=2,S△OMN=(12-2.5x)×2=12-x,∴y=12-x.当x=4时,y的最大值=2.综上所述,y的最大值是.返回主目录
