课时规范练33 基本立体图形及空间几何体的表面积和体积基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是( )2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的,若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为( )A.2B.C.D.3.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图,已知扇形所在圆的半径R=,扇形弧长l=4π,则该圆锥的表面积为( )A.2πB.(4+2)πC.(3+)πD.8π+4.(2021湖北十堰二模)已知某圆柱的轴截面是正方形,且该圆柱的侧面积是4π,则该圆柱的体积是( )\nA.2πB.4πC.8πD.12π5.将半径为3,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的体积为( )A.B.C.D.2π6.(2021北京,8)定义:24小时内降水在平地上积水厚度(单位:mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10mm),中雨(10mm—25mm),大雨(25mm—50mm),暴雨(50mm—100mm),小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.(多选)下列四个论断不正确的是( )A.过圆锥两母线的截面面积中,最大的是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体,体积较大的是球体8.(2021山东淄博一模)已知某圆锥底面圆的半径r=1,侧面展开图是一个半圆,则此圆锥的体积为 . 9.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°,侧面积为4,则该棱锥的体积为 . 综合提升组10.(多选)(2021河北保定二模)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是( )A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等\nD.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶211.用长度分别是2,3,5,6,9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的对应长方体的最大表面积为( )A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm212.(2021广东汕尾模拟)如图,一个圆锥形物体的母线长为6,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为6,则该圆锥形物体的底面半径为 . 13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=14,BC=5,AA1=4,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=2.(1)求直线CF与C1E所成角的余弦值;(2)过点E,F的平面α与此长方体的表面相交,交线围成一个正方形,求平面α把该长方体分成的较小部分与较大部分的体积的比值.\n创新应用组14.(多选)(2021山东青岛一模)有一种外形为圆锥形的斗笠,称为“灯罩斗笠”,根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用,不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量,现有一个“灯罩斗笠”,帽坡长20厘米,帽底宽20厘米,关于此斗笠,下面说法正确的是( )A.分笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上,则该球的表面积为1600π平方厘米D.此斗笠放在平面上,可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为(20-30)厘米15.(2021八省联考模拟卷)用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是,所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×=π,故其总曲率为4π.(1)求四棱锥的总曲率;(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数=2,证明:这类多面体的总曲率是常数.\n课时规范练33 基本立体图形及空间几何体的表面积和体积1.A 解析此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A中的平面图形旋转形成的.故选A.2.D 解析设O'A'=x,则O'B'=x,在原图形中OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,面积为S=×x+x×2x=3,解得x=,故选D.3.B 解析设圆锥底面圆半径为r,则2πr=4π,解得r=2.圆锥的表面积S表=S底面圆+S侧=πr2+lR=π×22+×4π×=(4+2)π.故选B.4.A 解析设该圆柱的底面圆半径为r,则圆柱的高(母线)为h,而圆柱的轴截面是正方形,则h=2r,圆柱侧面积为2πrh=4π,即4πr2=4π,解得r=1,h=2,故该圆柱的体积是πr2h=2π.故选A.5.A 解析设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=×3,所以r=1,则h==2.设内切球的半径为R,则,所以R=,所以V=R3=×3=.故选A.6.B 解析由题可知,圆锥内积水的高度是圆锥高度的一半,则圆锥内积水部分的半径为r=×200=50(mm),h=×300=150(mm).所以由定义可得,积水厚度d==12.5(mm),属于中雨.故选B.7.AB 解析由于圆锥母线长度都相等由于圆锥母线长度都相等,设两母线的夹角为θ,母线长为2,则过圆锥两母线的截面面积为×2×2sinθ=2sinθ,当轴截面两母线的夹角θ=150°时,轴截面的面积为2sin150°=1,此时可以找到一个两母线的夹角\nθ=90°不是轴截面的截面,其面积为2sin90°=2,故A错误;当已知直线垂直于已知平面时,过已知直线的所有平面都垂直于已知平面,故B错误;由于棱柱和圆柱的体积都是底面积乘高,则等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等,故C正确;设正方体的棱长为a,球的半径为R,则S=4πR2=6a2,球的体积为V1=×πR3=,正方体的体积为V2=a3=,所以V1>V2,故D正确.故选AB.8. 解析∵圆锥的侧面展开图是一个半圆,圆锥的底面周长为2π,即侧面展开图半圆的弧长是2π,则半圆的半径,即圆锥的母线为2.圆锥的高为.∴圆锥的体积V=π×12×.9. 解析设正四棱锥底面边长为2a,且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°,则四棱锥的高为a.又正四棱锥的侧面积为4,所以每个侧面的面积为.则×2a×a=,解得a=1.即正四棱锥的高为,故该棱锥的体积为×22×.10.BD 解析依题意圆柱的底面半径为R,则圆柱的高为2R,故圆柱的体积为πR2×2R=2πR3,故A错误;由题可得,圆锥的母线长为R,圆锥的侧面积为πR×R=πR2,故B正确;∵圆柱的侧面积为4πR2,圆锥表面积为πR2+πR2,故C错误;∴V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,故D正确.\n故选BD.11.C 解析设长方体的三条棱的长度为a,b,c,所以长方体表面积S=2(ab+bc+ac)≤,当且仅当a=b=c时取等号又由题意可知a=b=c不可能成立,所以当a,b,c的长度最接近时,此时对应的表面积最大,此时三边长分别为8cm,8cm,9cm,用2cm和6cm连接在一起形成8cm,用3cm和5cm连接在一起形成8cm,剩余一条棱长为9cm,所以最大表面积为2×(8×8+8×9+8×9)=416(cm2).故选C.12. 解析圆锥侧面展开图为扇形POP',如图.由题知,OP=OP'=6,小虫爬行的最短路程为线段PP',即PP'=6.显然有OP2+OP'2=72=PP'2,即∠POP'=.设圆锥底面圆半径为r,则有2πr=6×=3π,解得r=.即圆锥形物体的底面半径为.13.解(1)连接EF,EB,BC1,长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=D1F=2,且A1E∥D1F,所以四边形A1EFD1是平行四边形,所以A1D1与EF平行且相等,所以EF与BC平行且相等,所以四边形EFCB为平行四边形,所以FC∥BE,直线CF与C1E所成角就是∠C1EB或其补角,C1E==13,EB==4,\nC1B=,在△C1EB中,由余弦定理,cos∠C1EB=,所以直线CF与C1E所成角的余弦值为.(2)设过点E,F的平面α与此长方体的表面相交,交线围成一个正方形,即正方形EFNM,则EM=5,作EP⊥AB于点P,作FQ⊥DC于点Q,所以PM=3,所以点M在点P的右侧,平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1,两个直棱柱的高相等,两部分体积之比为=.14.ACD 解析对于A,作出图形如图所示,PO==10,所以sin∠APO=,因为0°<∠APO<90°,故∠APO=60°,所以∠APB=120°,故选项A正确;对于B,设∠APB=θ,截面三角形面积为S=·PA2·sinθ=200sinθ≤200,故选项B不正确;对于C,设外接球球心为M,半径为R,所以MA=MP=R,在△AOM中,由勾股定理可得300+(R-10)2=R2,解得R=20,所以该球的表面积S=4π×202=1600π,故选项C正确;对于D,设球心为O',截面主视图如图所示,设内切圆半径为r,△ABP各边长分别为PA=PB=20,AB=20,\n所以×(20+20+20)r=×20×10,解得r=20-30,故选项D正确.故选ACD.15.(1)解由题可知,四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑,所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知,四棱锥共有5个顶点,5个面,其中4个为三角形,1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形,1个为四边形组成,则其总曲率为2π×5-(4π+2π)=4π.(2)证明设顶点数、棱数、面数分别为n,l,m,所以有n-l+m=2.设第i个面的棱数为xi,所以x1+x2+…+xm=2l,所以总曲率为2πn-π[(x1-2)+(x2-2)+…+(xm-2)]=2πn-π(2l-2m)=2π(n-l+m)=4π,所以这类多面体的总曲率是常数.
