课时规范练37 空间向量及其运算基础巩固组1.已知向量a=(1,-2,3),b=(2,-1,-4),则a·b=( )A.-8B.-7C.-6D.-52.已知a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),若a∥b,则实数t的值为( )A.-5B.-6C.-4D.-33.(2020辽宁大连模拟)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E为PD的中点,若=a,=b,=c,则用基底{a,b,c}表示向量为( )A.a-b+cB.a-b+cC.a-b-cD.a-b+c4.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )A.B.C.=0D.=05.若a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),则|a-2b|=( )A.7B.5C.3D.66.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是( )A.若|a|=2,则m=±B.若a⊥b,则m=-1C.不存在实数λ,使得a=λbD.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2)7.若向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量a,b的夹角为 . 8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(x,1,1)在平面ABC内,则x= . \n综合提升组9.(多选)(2021湖北武汉模拟)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是( )A.是共线向量B.与同向的单位向量是,0C.夹角的余弦值是D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)10.(多选)(2021江苏板浦高级中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列正确的是( )A.a-b+cB.=a+b+cC.AC1的长为D.cos<>=11.(2021山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为 . 12.已知空间向量的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心,若=x+y+z,x,y,z∈R,则x+y+z= ;||= . 13.如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=m,其中0≤m≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)求证:A1F⊥C1E;\n(2)若A1,E,F,C1四点共面,求证:.创新应用组14.已知向量{a,b,c}是空间向量的一个基底,向量{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一个基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )A.B.C.D.15.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面体A-BCD表面上任意一点,则的最小值为 . \n课时规范练37 空间向量及其运算1.A 解析由已知可得a·b=1×2-2×(-1)+3×(-4)=-8.故选A.2.B 解析因为a=(t,12,-3),b=(2,t+2,1),且a∥b,所以存在实数λ,使得a=λb,即(t,12,-3)=λ(2,t+2,1),所以解得故选B.3.B 解析连接BD,如图,因为E是PD的中点,所以)=(-b+)=-b+)=-b+(a+c-2b)=a-b+c.故选B.4.C 解析M与A,B,C一定共面的充要条件是=x+y+z,x+y+z=1,对于A选项,由于1-1-1=-1≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;对于B选项,由于≠1,所以不能得出M,A,B,C共面;对于C选项,由于=-,则为共面向量,所以M,A,B,C共面;对于D选项,由=0,得=-,而-1-1-1=-3≠1,所以不能得出M,A,B,C共面.故选C.5.C 解析∵a=(2,-3,5),b=(-3,1,2),∴a-2b=(8,-5,1),\n∴|a-2b|==3.故选C.6.AC 解析对于A,由|a|=2,可得=2,解得m=±,故A正确;对于B,由a⊥b,可得-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,若存在实数λ,使得a=λb,则显然λ无解,即不存在实数λ,使得a=λb,故C正确;对于D,若a·b=-1,则-2-m+1+2m=-1,解得m=0,于是a+b=(-1,-2,2),故D错误.故选AC.7. 解析根据题意,设向量a,b的夹角为θ,向量a=(1,0,1),b=(0,1,-1),则向量|a|=,|b|=,a·b=-1.则cosθ==-.又由0≤θ≤π,则θ=.8.-1 解析设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),又=(-1,1,0),=(-1,0,1),所以取x=1,得n=(1,1,1),P(x,1,1)在平面ABC上,=(x-1,1,1).则n·=x-1+1+1=0,x=-1.9.BD 解析对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),可知≠λ,则不共线,故A错误;对于B,∵=(2,1,0),∴||=,∴=,0,即与同向的单位向量是\n,0,故B正确;对于C,∵=(-3,1,1),∴cos<>==-,即夹角的余弦值为-,故C错误;对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则令x=1,则y=-2,z=5,即n=(1,-2,5),故平面ABC的一个法向量为(1,-2,5),故D正确.故选BD.10.BD 解析由空间向量的加法法则得=a+b+c,故B正确;)=c+(-a+b)=-a+b+c,故A错误;由已知a·b=b·c=a·c=1×1×cos60°=,||=|a+b+c|===,故C错误;cos<>==,故D正确.故选BD.\n11.(-∞,-2)∪-2, 解析由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),得ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-4<0,解得k<.若ka+b与2a-b反向,则ka+b=λ(2a-b),λ<0,则所以k=-2.所以ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k<且k≠-2.综上,k的取值范围是(-∞,-2)∪-2,.12.1 解析取AC的中点D,×()=×)-=.又=x+y+z,空间向量的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60°,则x=,y=,z=,故x+y+z=1.||=\n====.13.证明(1)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),E(a,m,0),F(a-m,a,0),所以=(-m,a,-a),=(a,m-a,-a),所以=-am+a(m-a)+a2=0,所以,即A1F⊥C1E.(2)因为A1,E,F,C1四点共面,所以共面.选为平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,即(-m,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,m,-a)=(-aλ1,aλ1+mλ2,-aλ2),所以解得λ1=,λ2=1.故.14.B 解析设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,\n所以解得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为.故选B.15.-8 解析设正四面体外接球球心为O,正四面体A-BCD的外接球半径为3,设正四面体A-BCD内切球半径为r,一个面的面积为S,高为h,则VA-BCD=4×Sr=Sh,所以h=4r,显然r+3=h=4r,所以r=1,即|PO|min=1.=()·()=-9≥1-9=-8.
