课时规范练36 直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.(2021湖南师大附中模拟)若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊥α,n⊂β,则“m∥n”是“α⊥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知平面α,β,直线n⊂α,直线m⊂β,则下列命题正确的是( )A.α∥β⇒m∥nB.α⊥β⇒m⊥nC.m⊥α⇒α⊥βD.m⊥n⇒m⊥α3.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA4.已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为下底面圆周上一点,且AD垂直圆柱的底面,则必有( )A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD5.(2021浙江,6)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则( )\nA.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B16.(多选)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )7.(2021北京人大附中模拟)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m⊂β,下列四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l⊥m⇒α∥β;④l∥m⇒α⊥β.其中正确的命题是 .(写出所有正确命题的序号) 8.如图,已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有 对. 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=a.求证:(1)PD⊥平面ABCD;(2)平面PAC⊥平面PBD.\n综合提升组10.(多选)(2021湖北黄冈中学三模)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,正确的是( )A.若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线B.若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直C.若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m异面的直线D.若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线11.(多选)(2021新高考Ⅱ,10)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足MN⊥OP的是( )12.(2021河北迁西第一中学模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AA1⊥平面ABC,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件 时,有AB1⊥BC1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况) 13.在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是 . 14.(2021广东珠海第二中学模拟)在五面体EF-ABCD中,正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AD=DC=BC=AB.\n(1)求证:平面BCF⊥平面ACE;(2)若三棱锥A-BCE的体积为,求线段AB的长.创新应用组15.刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程.堑堵是底面为直角三角形的直棱柱;阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥;鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体.图1图2在如图2所示由正方体ABCD-A1B1C1D1得到的堑堵ABC-A1B1C1中,当点P在下列三个位置:A1A中点,A1B中点,A1C中点时,分别形成的四面体P-ABC中,鳖臑的个数为( )\n A.0B.1C.2D.316.(2021广东深圳月考)已知某“鞠”(鞠为一种球体)的表面上有四个点A,B,C,D满足AB=BC=CD=DA=DB=10cm,AC=15cm,则点A到平面BCD的距离为 cm,该“鞠”的表面积为 cm2. \n课时规范练36 直线、平面垂直的判定与性质1.A 解析若m∥n,∵m⊥α,∴n⊥α.又n⊂β,由面面垂直判定定理知,α⊥β.∴“m∥n”是“α⊥β”的充分条件;若α⊥β,如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,记平面BCC'B'为α,记平面ABCD为β,A'B'为直线m,AD为直线n,满足条件α⊥β,m⊥α,n⊂β,直线m,n异面.∴“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选A.2.C 解析若直线n⊂α,直线m⊂β,α∥β,则m与n可能异面,可能平行,故A错误;由直线n⊂α,直线m⊂β,α⊥β,则m与n可能平行,可能相交,可能异面,故B错误;由直线m⊂β,m⊥α,可得α⊥β,故C正确;由直线n⊂α,直线m⊂β,m⊥n,则m与α可能平行,可能相交,故D错误.故选C.3.D 解析SD⊥底面ABCD,SB在平面ABCD的射影BD与AC垂直,则SB⊥AC,A正确;SC在平面ABCD的射影DC与AD垂直,则SC⊥AD,B正确;利用上述垂直可得AC⊥平面SBD,且AC⊂平面SAC,从而有平面SAC⊥平面SBD,C正确;若BD⊥SA,则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA,这不符合题意,D错误.故选D.4.B 解析因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC.又AD垂直圆柱的底面,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.故选B.5.A 解析连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,所以M为AD1中点.又N是D1B的中点,所以MN∥AB.因为MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以选项B,D错误;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D,AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABD1.D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B,且直线A1D,D1B是异面直线,所以选项C错误,选项A正确.\n故选A.6.BD 解析对于A,由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.故选BD.7.①④ 解析α∥β,l⊥α,所以l⊥β.又m⊂β,所以l⊥m,①正确;α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,所以l,m可能平行、相交或异面,②错误;l⊥m,l⊥α,m⊂β,则α,β相交或平行,③错误;l∥m,l⊥α,则m⊥α,又m⊂β,所以α⊥β,④正确.8.7 解析在四棱锥P-ABCD中,①因为PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD;同理可得,平面PBD⊥平面ABCD,平面PCD⊥平面ABCD;②因为PD⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PD⊥AB.因为ABCD为正方形,所以AB⊥AD.又PD,AD在平面PAD内,且相交于点D,所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.同理可得,平面PCB⊥平面PCD,平面PAC⊥平面PBD,平面PCD⊥平面PAD.所以一定互相垂直的平面有7对.9.证明(1)∵PD=a,DC=a,PC=a,∴PC2=PD2+DC2,则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又AD∩DC=D,且AD⊂平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.(2)(方法1)由(1)知PD⊥平面ABCD,又AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又BD∩PD=D,且PD⊂平面PBD,BD⊂平面PBD,∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.(方法2)设AC与BD交于点O,连接PO(图略),易知PO⊥AC.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又PO∩BD=O,PO⊂平面PBD,BD⊂平面PBD,∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.10.BD 解析设平面α∩平面β=直线l,对于A,当平面α⊥平面β时,在平面β内作直线n⊥l,则n⊥α,而m⊥α,则n∥m,故A错误;对于B,m⊥α,则m⊥l,则平面β内与l平行的所有直线都与直线m垂直,故B正确;对于C,因为直线m⊂α,则m与l重合时,即m⊂β,β内的所有直线都与m共面,故C错误;对于D,当m⊥β时,结论成立,直线m与β不垂直时,作与直线m垂直的平面γ,则γ必与β相交,所得交线与m垂直,故D正确.故选BD.11.BC 解析设正方体的棱长为2,对于A,如图1所示,连接AC,则MN∥AC,\n图1故∠POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,在直角三角形OPC中,OC=,CP=1,故tan∠POC=,则MN⊥OP不成立,故A错误;图2对于B,如图2所示,取MT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQ⊥MT,PQ⊥MN.由正方体SBCN-MADT可得SM⊥平面AMDT,而OQ⊂平面AMTD,故SM⊥OQ,而SN∩MN=N,故OQ⊥平面SNTM.又MN⊂平面SNTM,则OQ⊥MN,而OQ∩PQ=Q,所以MN⊥平面OPQ,而PO⊂平面OPQ,故MN⊥OP,故B正确;图3对于C,如图3,连接BD,则BD∥MN,由B的判断可得OP⊥BD,故OP⊥MN,故C正确;对于D,如图4所示,取AD的中点Q,AB的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,图4则AC∥MN.因为DP=PC,DQ=QA,所以PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角,因为PQ=AC=,OQ=,\nPO=,所以OQ2<PQ2+OP2,所以∠QPO不是直角,故OP与MN不垂直,故D不合题意.故选BC.12.A1C1⊥B1C1(答案不唯一) 解析当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时,有AB1⊥BC1.证明如下:∵AA1⊥平面ABC,BC=CC1,∴四边形BCC1B1是正方形,∴BC1⊥B1C.∵CC1∥AA1,∴A1C1⊥CC1.又A1C1⊥B1C1,CC1∩B1C1=C1,CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,∴A1C1⊥平面BCC1B1.∵AC∥A1C1,∴AC⊥平面BCC1B1.∵BC1⊂平面BCC1B1,∴BC1⊥AC.∵AC,B1C⊂平面ACB1,∴BC1⊥平面ACB1,∴当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时,有AB1⊥BC1.13.② 解析①假设AC与BD垂直,过点A作AE⊥BD于点E,连接CE.则⇒BD⊥平面AEC,则BD⊥CE,而在平面BCD中,CE与BD不垂直,故假设不成立,①不正确.②假设AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,由AB<BC可知,存在这样的直角三角形,使AB⊥AC,故假设成立,②正确.③假设AD⊥BC,∵CD⊥BC,∴BC⊥平面ACD,∴BC⊥AC,即△ABC为直角三角形,且AB为斜边,而AB<BC,故矛盾,假设不成立,③不正确.14.(1)证明取AB中点O,连接CO.∵AD=DC=BC=AB,AB∥CD,∴四边形AOCD为菱形,∴CO=OA=OB,∴△OCB为正三角形,∴AC⊥BC.∵正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,且平面CDEF∩平面ABCD=CD,CD⊥CF,∴FC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴FC⊥AC.BC∩FC=C,∴AC⊥平面BCF.∵AC⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCF.\n(2)解设BC=x,则AB=2x,由勾股定理得AC=x,由(1)可知,ED⊥平面ABCD,故VA-BCE=VE-ABC=S△ABC·ED,S△ABC=·x·x=x2,即x3=,解得x=2,即AB=4.15.C 解析设正方体的棱长为a,则由题意知,A1C1=AC=a,A1B=a,A1C=a,当P为A1A的中点时,因为PA⊥平面ABC,则∠PAC=∠PAB=90°,∠ABC=90°.由BC⊥平面PAB,得BC⊥PB,即∠PBC=90°,则△PAB,△PAC,△ABC,△PBC是直角三角形,即此时P-ABC是鳖臑;当P为A1B的中点时,因为BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥PB,BC⊥AB,所以△PBC,△ABC为直角三角形.因为ABB1A1是正方形,所以AP⊥BP,则△PAB是直角三角形,又AP⊥BC,BP∩BC=B,所以AP⊥平面PBC,所以AP⊥PC,所以△PAC是直角三角形,则此时P-ABC是鳖臑;当P为A1C的中点时,此时PA=PC=A1C=,又AC=a,由勾股定理可知,△PAC不是直角三角形,则此时P-ABC不是鳖臑.故选C.16. 解析由已知得△ABD,△CBD均为等边三角形.如图所示,设球心为O,设△BCD的中心为O',取BD的中点F,连接AF,CF,OO',OB,O'B,AO,则AF⊥BD,CF⊥BD,AF∩CF=F,得BD⊥平面AFC,则AF=CF=5cm,而AC=15cm,所以∠AFC=120°.在平面AFC中过点A作CF的垂线,与CF的延长线交于点E,由BD⊥平面AFC,得BD⊥AE,故AE⊥平面BCD.过点O作OG⊥AE于点G,则四边形O'EGO是矩形,则O'B=BCsin\n60°=(cm),O'F=O'B=(cm),AE=AFsin60°=(cm),即点A到平面BCD的距离为cm,EF=AFsin30°=(cm).设球的半径为R,OO'=xcm,则由OO'2+O'B2=OB2,OA2=AG2+GO2,得x2+=R2,2+-x2=R2,解得x=5,则R=cm,故三棱锥A-BCD外接球的表面积S=4πR2=(cm2).
