2023届高考数学一轮复习单元测试--第四章数列A卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第四章数列A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知数列中，，，则（）A．B．C．D．2．已知数列满足：，的前项和为，则当时，（）A．B．C．D．3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（）A．994B．995C．1003D．10044．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，，，，则n的值为（）A．8B．11C．13D．175．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，\n则（）A．B．C．D．6．定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）．A．B．C．D．7．在等差数列中，首项，公差，前项和为（），有下列叙述：（1）若，则必有；（2）若，则必有；（3）若，则必有.其中叙述正确的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）8．已知函数，若等比数列满足，则（）A．B．C．2D．2021二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．若，则数列的前2020项和为4040B．数列是公比为8的等比数列C．D．若，则数列的前2020项和为10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（）\nA．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短11．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（）A．B．数列是等比数列C．D．12．如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）A．B．数列是等比数列C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分\n13．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．14．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.15．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为__.16．已知数列的前项和，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．求数列的通项公式：（1）已知数列满足，且，求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．\n18．已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．19．已知为数列的前项和，且是和的等差中项，求满足的正整数的集合.\n20．数列满足，且（且）．（1）求、，并证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．\n21．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，．（1）求的值及数列的通项公式；（2）若有，求证：．22．设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N）成立一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知数列中，，，则（）\nA．B．C．D．【答案】C【解析】依题意数列中，，，，，整理得，由于，故解得.，以此类推，所以.故选：C2．已知数列满足：，的前项和为，则当时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当，时，，即，∴.故选：D3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前35项和为（）\nA．994B．995C．1003D．1004【答案】B【解析】没有去掉“1”之前，第1行的和为，第2行的和为，第3行的和为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则前项和为．每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前项总个数为．当时，，去掉两端“1”，可得，则去掉两端“1”后此数列的前36项和为，所以第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为，所以该数列的前35项和为．故选：B.4．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，高斯在幼年时首先使用了倒序相加法，人们因此受到启发，创造了等差数列前n项和公式，已知等差数列的前n项和为，，，，则n的值为（）A．8B．11C．13D．17【答案】D【解析】根据题意，，，，即，\n两式相加得到所以，故选：D．5．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设数列是公比为的等比数列，数列是公差为的等差数列，若，则，，即为，，即，，则．故选：A6．定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，∴，当时，，\n验证知当时也成立，∴，∴，∴∴．故选：D．7．在等差数列中，首项，公差，前项和为（），有下列叙述：（1）若，则必有；（2）若，则必有；（3）若，则必有.其中叙述正确的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）【答案】D【解析】对于（1）若，则有，则有，所以，所以.因为，，所以，所以，所以，所以.故（1）正确.对于（2）若，则有，所以.故（2）正确；对于（3）若，则有，因为，所以,所以，所以,即.故（3）正确.故选：D\n8．已知函数，若等比数列满足，则（）A．B．C．2D．2021【答案】D【解析】，得，则，又是等比数列，则，所以；，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知等差数列的前项和为，若，，则（）A．若，则数列的前2020项和为4040B．数列是公比为8的等比数列C．D．若，则数列的前2020项和为【答案】AD【解析】等差数列的前项和为，若，，设的公差为，则有，解得，，故，若，则的前2020项，故A正确；\n由，得，令，则当时，，则数列是公比为的等比数列，故B错误；由等差数列的性质可知，故C错误；若，则的前2020项和，故D正确，故选：AD.10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（）A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短【答案】AB【解析】现以寸为单位，由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中，，公差.同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，\n其中，，公差，故相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为，所以，因为秋分的晷长为，所以，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为，所以，即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为，，，，所以，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D错误.故选：AB.11．《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了9匹3丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若这个月有30天，记该女子这个月中第天所织布的尺数为，，则（）A．B．数列是等比数列C．D．【答案】BD【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，首项，则，解得，∴.∵，∴，\n∴数列是等比数列，B选项正确；∵，∴，A选项错误；，∴，C选项错误；，，∴，D选项正确.故选：BD.12．如图，已知点是平行四边形的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（　　）A．B．数列是等比数列C．D．【答案】AB【解析】为中点，，即，三点共线，，又，，化简得：，，是以为首项，为公比的等比数列，B正确；，，C错误；\n则，A正确；，D错误.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设数列满足，，，数列前n项和为，且（且）．若表示不超过x的最大整数，，数列的前n项和为，则的值为___________．【答案】2023【解析】当时，，，，，从第2项起是等差数列.又，，，，，当时，，（），当时，.\n又，.故答案为：202314．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则数列前n项和为______.【答案】【解析】由题意，，由等比数列的性质可得，解得，∴，解得，，则，则数列为等差数列，，故，，故答案为：15．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则的最小值为__.【答案】45【解析】根据题意，数列{an}为等差数列，设an＝pn+q，若存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，\n则有，即联立两式，变形可得p2rt＝p2s2，又由等差数列{an}的公差不为0，即p≠0，则有rt＝s2，可得pq（r+t）＝2pqs，又由r，s，t互不相等且rt＝s2，则r+t≠2s，必有q＝0，则an＝pn，所以S1＝a1＝p，Sn＝＝，故＝＝++，设f（n）＝++，则f（n）＝++≥2+＝2+，当且仅当n2＝1980时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意，而44＜＜45，所以f（44）＝++＝45，f（45）＝＝45，则有f（45）＝f（44），即的最小值为45故答案为：45.16．已知数列的前项和，，若对任意的，都有，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】由题意，知，所以，当时也满足上式，所以，所以，又因为对任意的，都有，所以且，所以.故实数的取值范围为.故答案为：.\n四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．求数列的通项公式：（1）已知数列满足，且，求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将两边倒过来变形可知是以为首项，2为公差的等差数列．根据等差数列通项公式可求出，从而可得；（2）将两边同时除以，得，利用累加法可求得结果．（1）由得，，∴是常数．又，∴是以为首项，2为公差的等差数列．∴，∴．（2）将两边同时除以，得，则，∴\n则．18．已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式．【答案】证明见解析；．【解析】证明：由题知，得，所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，当时，，当时，也符合题意，所以，又所以.19．已知为数列的前项和，且是和的等差中项，求满足的正整数的集合.【答案】【解析】因为数列的前项和，且是和的等差中项，则，当时，，整理得：，而，即\n，因此得，数列是公比为2，首项为1的等比数列，其通项为，，，而，于是得是首项为1，公比为的等比数列，则，由得：，即，解得，而，则或，所以所求的正整数的集合是.20．数列满足，且（且）．（1）求、，并证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．【答案】（1），，证明见解析；（2）.【解析】（1）因为，且（且），则，，由已知可得，，则对任意的，，所以当时，，故数列是等比数列；（2）由（1）可知，数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，，因此，.21．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和为，数列的前项和为，且，．\n（1）求的值及数列的通项公式；（2）若有，求证：．【答案】（1）；；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，，即，化简整理，得，解得：或（舍去），当时，由，可得，两式相减可得，即所以，将代入，可得，解得：，当时，由，可得，两式相减可得，整理得:，且也满足上式，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）证明：，所以，\n故．22．设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”.（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N）成立.【答案】（1）证明见解析；（2）-1；（3）证明见解析.【解析】（1）由已知，当n≥1时，an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=n+1，使得Sn=2n=am，所以{an}是“H数列”.（2）由已知得，S2=2a1+d=2+d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2=am，即2+d=1+（m-1）d，于是（m-2）d=1.因为d<0，所以m-2<0，故m=1，从而d=-1.当d=-1时，an=2-n，Sn=是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=2-Sn=2-，使得Sn=2-m=am，所以{an}是“H数列”，因此d的值为-1.（3）证明：设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d=na1+（n-1）（d-a1）（n∈N*）.令bn=na1，cn=（n-1）（d-a1），则an=bn+cn（n∈N*）.下证{bn}是“H数列”.设{bn}的前n项和为Tn，则Tn=a1（n∈N*）.于是对任意的正整数n，总存在正整数m=，使得Tn=bm，所以{bn}是“H数列”.同理可证{cn}也是“H数列”.所以对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立