2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第八单元立体几何初步A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于直线、与平面、，有以下四个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则.其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．3．已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．54．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当\n四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（）A．B．C．D．5．如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，E，F分别为，中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．棱长为的正方体密闭容器内有一个半径为的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．B．C．D．7．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（）A．2B．C．3D．8．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）\nA．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等10．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）\nA．沙漏中的细沙体积为B．沙漏的体积是C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒11．如图，圆柱的轴截面是四边形，E是底面圆周上异于的一点，则下列结论中正确的是（）A．B．C．平面D．平面平面12．如图,在棱长均相等的四棱锥中,为底面正方形的中心,,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：A．∥平面B．平面∥平面C．直线与直线所成角的大小为D．\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知球的半径为点均在球面上，若为等边三角形，且其面积为则三棱锥的最大体积是___________.14．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．15．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．16．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．\n四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，△AOC通过△AOB以OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°）．点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且CM＝OM．（1）证明：平面；（2）当D为线段AB中点时，求多面体OACMD的体积．18．如图：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.\n（1）求证：BC平面DAE；（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.19．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，说明理由．20．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，（1）若为中点，证明：面（2）若点在面上投影在线段上，，证明：面.\n21．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.22．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.\n（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于直线、与平面、，有以下四个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则.其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】D【解析】对于①，若，且，则与平行、相交或异面，①错误；对于②，如下图所示：\n设，因为，在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可知，，，，，，因此，，②正确；对于③，若，，则，因为，过直线作平面使得，由线面平行的性质定理可得，，，则，因此，③正确；对于④，若，且，则与平行、相交或异面，④错误.故选：D.2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A\n【解析】这个几何体是由一个底面半径为且高为1的半圆柱，和一个半径为的半球的前半部分组成，所以它的下底面为半圆，面积为，后表面为一个矩形加半圆，面积为，前表面为半个圆柱侧面加个球面，面积为，所以其表面积为，故选：A.3．已知点在球O的表面上，平面，若与平面所成角的正弦值为，则球O表面上的动点P到平面距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】如图，因为平面，，所以为球的直径由得作，则即为与平面所成角所以，得设由等面积法得，解得\n所以，即，又平面过球心，所以P到平面距离即为半径的长所以P到平面距离的最大值为3.故选：B.4．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，三棱锥的底面的面积为定值，当平面平面时，此时点到底面的距离最大，此时三棱锥的体积取得最大值，因为四边形为菱形，且，连接交与点，可得，所以为的外心，过点作平面的垂线，可得上点到三点的距离相等，设存在点点，使得，即点为三棱锥的外接球的球心，设，可得，即，解得，所以外接球的半径为，所以外接球的表面积为.故选：A.5．如图，已知等边与等边所在平面成锐二面角，E，F分别为，\n中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接，，等边与等边所在平面成锐二面角，可得，设等边与等边的边长为，则，即为等边三角形，所以，因为E，F分别为，中点，所以，异面直线与所成角即为所成的角，在中，.\n故选：C6．棱长为的正方体密闭容器内有一个半径为的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，其体积为，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为，高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为，则小球不能到达的空间的体积为.故选：A.7．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（）A．2B．C．3D．【答案】B【解析】设四棱柱的底面梯形的高为，的中点分别为，所求的水面高为h，则水的体积，\n所以，故选：B．8．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图：由正六边形的每个内角为，按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以可得正六棱柱底边边长，所以正六棱柱体积：.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．\n9．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,与矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底下底,腰长为，所以梯形面积为，故选项C正确；假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，则假设不成立，故选项D错误．故选：BC．10\n．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A．沙漏中的细沙体积为B．沙漏的体积是C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒【答案】AC【解析】A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径，所以体积B.沙漏的体积；C.设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，\n所以；D.因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，所以一个沙时为：秒.故选：AC.11．如图，圆柱的轴截面是四边形，E是底面圆周上异于的一点，则下列结论中正确的是（）A．B．C．平面D．平面平面【答案】ABD【解析】由是底面圆的直径，得，即，∵圆柱的轴截面是四边形，底面，，又，，平面，平面，，故A正确；同理可得，，故B正确；若平面，则,，,在中，不成立，平面不正确，故C不成立，由A的证明可知平面，平面，所以平面平面.可得正确.故选：.12．如图,在棱长均相等的四棱锥中,为底面正方形的中心,,分别为侧棱,的中点,有下列结论正确的有：\nA．∥平面B．平面∥平面C．直线与直线所成角的大小为D．【答案】ABD【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以∥ON,由线面平行的判定定理可得，∥平面；选项B,由,分别为侧棱,的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；选项C,因为MN∥CD，所以∠PDC为直线与直线所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC=，故直线与直线所成角的大小为；选项D，因底面为正方形，所以,又所有棱长都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知球的半径为点均在球面上，若为等边三角形，且其面积为则三棱锥的最大体积是___________.【答案】14．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把按计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．\n【答案】【解析】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为，则，得，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是，所以，即，解得．所以该正二十面体的外接球表面积为，而该正二十面体的表面积是，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于．故答案为：.15．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．\n【答案】【解析】截面圆半径为，球半径为，则由题意得，所以截面圆面积与球表面积比为．故答案为：．16．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．【答案】4【解析】（1）如图所示：四边形ABCD为矩形，故（1）满足条件；（2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件；（3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；（4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；\n故正确的结论有4个．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，△AOC通过△AOB以OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°）．点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且CM＝OM．（1）证明：平面；（2）当D为线段AB中点时，求多面体OACMD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：在△OBC中，由题意可得OB＝OC，∠OCB＝30°，∵CM＝OM，∴∠COM＝∠OCM＝30°，又∵∠BOC＝120°，∴，根据题意，OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴平面，而OM⊂平面OBC，∴，又OA∩OB＝O，∴OM⊥平面AOB；（2）解：由（1）得，，∵为线段的中点，∴,．∴多面体的体积为：．18．如图：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC\n上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.（1）求证：BC平面DAE；（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）证明：∵直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，∴CFDE，CF⊂面CBF，DE面CBF，则DE面CBF；FBAE，FB⊂面CBF，AE面CBF，则AE面CBF；又∵AE∩DE=E，DE､AE⊂面DAE∴面CBF面DAE又BC⊂面CBF，所以BC平面DAE（2）取AE的中点H，连接DH∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH\n∴AE=ED=DA=2，∴DH⊥AE，DH=，又AE∩EF=E∴DH⊥面AEFB…所以四棱锥D﹣AEFB的体积（3）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系则A(﹣1，0，0)，D(0，0，)，B(﹣1，﹣2，0)，E(1，0，0)，F(1，﹣2，0)因为，所以C(，﹣2，)易知是平面ADE的一个法向量，==(0，2，0)设平面BCD的一个法向量为=(x，y，z)由令x=2，则y=2，z=﹣2，∴=(2，2，﹣2)，∴cos<，>=所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为19．如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．\n（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，平面，∴，∵为直径，∴，，平面，∴平面，平面，∴平面平面；（2）存在．当为中点时，平面，证明如下：连，，，∵为正方形，∴为中点，连接，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面．20．如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，\n（1）若为中点，证明：面（2）若点在面上投影在线段上，，证明：面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取中点为，连接，，则为中位线，且，又四边形是直角梯形，，且，四边形为平行四边形，所以，因为面，面，所以面.（2）在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，设点在面上投影在线段上，设为点，\n面，面，，又，，面.21．如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若，试问在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】证明：（1）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴，\n正方形ABCD中E为AB中点，∴，∴，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（2）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设，∵，∴，，λ∈，设平面PAQ的法向量为，由，可得，∴，由已知：，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．\n22．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设，在半圆⊙A中，，弧长，这是圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为；（2）设圆柱的高，，在中，，，所以，\n即，，，，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时
